Рис. 314
Рис. 315
принимаем точку 
где касательная пересекает ось 
Если касательная взята в точке 
то
если же — в точке 
то
В обоих случаях второе приближение находится по формуле
Продолжая процесс, найдем последовательность 
(рис. 316). Она имеет пределом искомый корень 
Степень приближения можно определить так же, как и в способе хорд.
Замечание 1. Если касательную провести в том конце дуги, где 
имеют противоположные
Рис. 316
знаки, то 
может выйти за пределы промежутка 
и ухудшить приближения (рис. 317, а).
Замечание 2. Если 
не сохраняет знака в промежутке 
то касательные в обоих концах дуги могут пересечь ОХ за пределами промежутка (рис. 317,б).
Рис. 317
Пример. Вычислить с точностью до 0,01 корень уравнения
содержащийся (см. пример § 289) в промежутке 
Решение. Имеем:
Обе производные сохраняют в промежутке 
знак плюс. Поэтому берем тот конец данного промежутка 
, где 
т. е. конец 
По формуле (1) находим первое приближение:
Далее находим:
и по формуле (3) получаем второе приближение
Последующие приближения будут все меньше и меньше, причем по ходу выкладки можно предвидеть, что дальнейшие уточнения корня не повлияют на цифру сотен. Поэтому подсчитаем только 
Вычисление дает:
так что (с точностью, втрое больше требуемой) 
.
функция 
имеет противоположные знаки (рис. 314 и 315), а производные 
сохраняют в промежутке 
неизменный знак. Для нахождения корня 
лежащего в промежутке 
(§ 289), поступаем так.
где знаки 
одинаковы, проводим касательную 
на рис. 
на рис. 315). За первое приближение искомого корня
