§ 377. Абсолютная и условная сходимость

Теорема. Ряд

заведомо сходится, если сходится положительный ряд

составленный из абсолютных значений членов данного ряда.

Остаток данного ряда по абсолютному значению не превосходит соответствующего остатка ряда

Сумма данного ряда по абсолютному значению не превосходит суммы ряда

Равенство имеет место только тогда, когда все члены ряда (1) — одного знака.

Замечание 1. Ряд (1) может сходиться и тогда, когда ряд (2) расходится. Пример 1. Ряд

члены которого через два на третий отрицательны, сходится, так как сходится (§ 373, пример 3) ряд

составленный из абсолютных значений членов данного ряда. Сумма ряда (3) меньше суммы ряда (4).

Пример 2. Знакопеременный ряд

сходится (§ 369, пример 4), несмотря на то, что ряд, составленный из абсолютных значений членов данного ряда, расходится (§ 369, пример 3).

Определение 1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений его членов (в этом случае сходится и данный ряд; ср. пример 1).

Определение 2. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд, составленный из абсолютных значений его членов, расходится (ср. пример 2).

Замечание 2. Сходящийся ряд, у которого все члены положительны или все члены отрицательны, — абсолютно сходящийся.

Пояснение к примеру 1. Сохраним в ряде (3) положительные члены, а отрицательные заменим нулями. Получим сходящийся положительный ряд

(сходимость его следует из сравнения с рядом (10) § 373). Заменим теперь нулями положительные члены ряда (3), а отрицательные возьмем с обратным знаком. Получим сходящийся положительный ряд

Вычтем почленно ряд (6) из ряда (5). Получим ряд (3). В силу § 371 он сходится и его сумма равна

Каждое из положительных чисел меньше (§ 373), чем сумма ряда (4). Поэтому

Буквально так же доказывается общая теорема. Замечание. Сложив (5) и (6), находим:

В данном же примере имеем сверх того (§ 371, п. 1):

Из (7), (8) и (9) вытекает, что