§ 487. Уравнение Клеро
Уравнением Клеро называется уравнение вида
Его общий интеграл есть
Кроме того, уравнение Клеро имеет особый интеграл (§ 483); последний получается исключением параметра 
из уравнений
Общий интеграл (2) изображается совокупностью прямых линий, касающихся некоторой кривой 
Особый интеграл изображается самой кривой 
(уравнения (3) представляют ее в параметрическом виде).
Пример. Уравнение
есть уравнение Клеро. Его общий интеграл
изображается совокупностью прямых (рис. 475), касающихся параболы
Уравнение (4) есть особый интеграл. Он получается следующим образом. В данном примере имеем 
и уравнения (3) принимают вид
Исключив 
получаем (4).
Пояснение. Покажем на примере уравнения (1а), как получается уравнение особого интеграла.
Кривая 
касающаяся интегральных линий (2а), сама тоже будет интегральной линией (так как направление ее всюду совпадает с направлением поля). Чтобы найти кривую 
учтем, что она должна иметь с каждой из прямых
по одной общей точке 
Величина С, будучи постоянной для каждой прямой (5), меняется от одной прямой к другой, так что координаты 
есть функции
Рис. 475
от С. Найдем эти функции. Так как точка 
лежит на прямой (5), то мы должны иметь тождество
Так как в точке 
направления линии 
и прямой (5) совпадают, то дифференциалы 
должны иметь то же отношение, что и дифференциалы 
координат прямой (5), т. е. должно быть:
Вместе с тем дифференциалы 
должны удовлетворять равенству
полученному дифференцированием тождества (6). Сравнивая (7) с (8), получаем: 
т. е.
Таково выражение функции 
Подставляя его в (6), находим:
Уравнения (9), (10) отличаются от (3а) лишь обозначениями.
