ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 477. Основные понятия

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций). Вместо производных могут содержаться дифференциалы.

Если неизвестные функции зависят от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких, то уравнение называется дифференциальным уравнением с частными производными. Здесь рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Общий вид дифференциального уравнения с одной неизвестной функцией таков:

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение.

Примеры. Уравнение есть дифференциальное уравнение первого порядка; дифференциальное уравнение второго порядка, уравнение первого порядка.

Функция называется решением дифференциального уравнения, если последнее обращается в тождество после подстановки

Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение всех решений данного дифференциального уравнения. В простейших случаях эта задача сводится к вычислению интеграла. Поэтому решение дифференциального уравнения называют также его интегралом, а процесс нахождения всех решений — интегрированием дифференциального уравнения.

Вообще интегралом данного дифференциального уравнения называют всякое уравнение, не содержащее производных, из которого данное дифференциальное уравнение вытекает как следствие.

Пример 1. Функция есть решение (интеграл) дифференциального уравнения второго порядка

так как после подстановки равенство (2) принимает вид

т. е. становится тождеством.

Функции тоже решения уравнения (2), функция не является его решением.

Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Функция

есть решение уравнения (4), так как последнее после подстановки (5) обращается в тождество

Вместе с тем уравнение (5) есть интеграл дифференциального уравнения (4). Уравнение

тоже является интегралом дифференциального уравнения (4). Действительно, из (6) следует, что а отсюда (если применить формулу производной произведения) следует (4). Из интеграла (6), разрешив его относительно получим

Функция (7) есть решение дифференциального уравнения (4). Вместе с тем уравнение (7) является интегралом уравнения (4).

Уравнения являются интегралами дифференциального уравнения (4), а функции решениями.

Пример 3. Найти все решения дифференциального уравнения первого порядка

Решение. Неизвестная функция есть первообразная для функции Наиболее общий вид такой функции есть неопределенный интеграл Следовательно, все решения содержатся в формуле

Функция содержащая произвольную постоянную С, есть общее решениеуравнения (8), функция (а также ) есть частное решение.