§ 332. Формула Симпсона (параболических трапеций)

При обозначениях § 330 имеем:

Это — формула Симпсона. Она дает общую площадь криволинейных трапеций (рис. 356), у которых вместо дуг данной линии взяты

Рис. 356

одноименные дуги парабол с вертикальными осями. На рис. 356 показана лишь парабола (ср. § 329, пример 3).

При одном и том же числе ординат формула Симпсона в большинстве случаев намного точнее, чем формулы прямоугольников (§ 330) и трапеций (§ 331).

Замечание. Предельная погрешность формулы (1) составляет

Здесь наибольшее значение в промежутке Пример. Вычислим интеграл

по формуле Симпсона на пять ординат

Погрешность составляет примерно 0,00001, т. е. в 40 раз меньше, чем в примерах §§ 330, 331, хотя там число ординат было вдвое больше.

Полезно сопоставить формулу Симпсона с формулой трапеций. В первой имеется лишнее слагаемое которое примерно вдвое больше, чем сумма остальных членов. Значит, выражение в больших скобках формулы Симпсона примерно втрое больше, чем соответствующее выражение в формуле трапеций. Согласно с этим множитель втрое меньше множителя