§ 498. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части

Рассмотрим уравнение

где постоянные. Будем искать решение вида

Подставляя (2) в (1), найдем, что число должно удовлетворять уравнению

Последнее называется характеристическим уравнением.

Возможны три случая.

Случай 1. Характеристическое уравнение (3) имеет два неравных действительных корня .

В этом случае имеем два линейно независимых (§ 496, замечание 2) решения: Общее решение будет:

Пример 1. Найти общее решение уравнения

а также частное решение при начальных условиях

Решение. Характеристическое уравнение

имеет два неравных действительных корня:

Функции дают два линейно независимых решения. Общее решение уравнения (5) есть

Для нахождения частного решения вычисляем производную у:

Подставляя в (7) и (7а) начальные данные, получаем систему

Из нее находим: Искомое частное решение есть

Случай 2. Характеристическое уравнение имеет два равных корня

В этом случае решения линейно зависимы (они совпадают). Но теперь наряду с решением есть линеино независимое решение . Общее решение будет:

Пример 2. Найти общее решение уравнения

и частное решение при начальных условиях .

Решение. Характеристическое уравнение

имеет равные корни Функции дают линейно независимые решения. Общее решение уравнения (9) есть

Дифференцируя, находим:

Подставив в (10) и (10а) начальные данные, получим систему

Отсюда находим: Искомое частное решение есть

или

Случай 3. Характеристическое уравнение имеет пару комплексных корней:

где

В этом случае выражения

не имеют действительных значений ни при каком действительном значении кроме Но теперь можно использовать функции

Подставляя их в уравнение (1), убеждаемся, что каждая из функций (13) является решением уравнения (1).

В § 498а показано, как выводятся решения (13) из комплексных решений вида (12).

Решения (13) линейно независимы, и поэтому общее решение будет:

или в другом виде

(где ).

Пример 3. Найти общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение

имеет мнимые корни Функции

дают линейно независимые решения. Общее решение уравнения (1) есть

или

Пример 4. Найти общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение имеет мнимые корни здесь . Общее решение есть (ср. § 495, пример 2)