§ 228. Дифференциал

Определение. Пусть приращение (§ 217а) функции разбито на сумму двух членов:

где не зависит от (т. е. постоянно при данном значении аргумента имеет высший порядок (§ 217) относительно

Тогда первый («главный») член, пропорциональный называется дифференциалом функции и обозначается или (читается: «дэ игрек», «дэ эф от икс»).

Пример 1. Возьмем функцию Тогда

Здесь коэффициент не зависит от так что первый член пропорционален другой же член имеет высший (второй) порядок относительно Следовательно, член есть дифференциал функции

Теорема 1. Коэффициент равен производной другими словами, дифференциал функции равен произведению производной на приращение аргумента:

или

Пример 2. В примере 1 мы нашли, что Коэффициент есть производная функции

Пример 3. Если то (§ 226, п. 4).

Поэтому

Проверим это. Имеем . Если разбить это выражение на два члена, из которых первый есть то второй будет Второй член имеет высший (второй) порядок относительно

Теорема 2. Если производная не равна нулю, то дифференциал функции и ее приращение эквивалентны

если производная равна нулю (тогда и дифференциал равен нулю), то не эквивалентны.

Пример 4. Если то При величины эквивалентны, при величины не эквивалентны.

Эквивалентность дифференциала и приращения часто используется в приближенных вычислениях (как правило, вычислить дифференциал легче, чем производную).

Пример 5. Имеем металлический куб с ребром см. При нагревании ребро удлинилось на см. Насколько увеличился объем куба?

Решение. Имеем так что Увеличение объема эквивалентно дифференциалу так что Полное вычисление дало бы Но в этом результате все цифры, кроме первой, ненадежны; значит, все равно надо округлить до

Другие примеры применения дифференциала в приближенных вычислениях см. § 243 (пример 4) и § 248.