§ 403. Гиперболические функции

Степенные ряды

сходные с разложениями имеют суммы, соответственно равные Эти функции называются: первая — гиперболическим синусом вторая — гиперболическим косинусом

Гиперболическим тангенсом и гиперболическим котангенсом называются функции

Функции именуются гиперболическими функциями. Графики даны на рис. 409—412.

Гиперболические функции имеют определенные значения для всех значений (кроме при где эта функция обращается в бесконечность).

Функция принимает всевозможные значения, только не меньшие единицы значения функции содержатся между значения больше 1 при и меньше -1 при Прямые служат асимптотами для обеих линий

(кликните для просмотра скана)

Гиперболические функции связаны соотношениями

и другими, аналогичными тригонометрическим. Так,

Все они вытекают из формул (3)-(6).

Вообще каждой тригонометрической формуле, не содержащей постоянных величин под знаками тригонометрических функций соответствует аналогичное соотношение между гиперболическими функциями. Последнее получается, если заменить всюду на (i — мнимая единица); мнимости устранятся сами собой.

Пример 1. Из тригонометрической формулы

с помощью указанной замены получаем:

Разделив обе части равенства на получаем (10).

Пример 2. Из формулы

получаем:

Полагая , получаем (7).

Формулы дифференцирования и интегрирования.

Эти формулы получаются из соответствующих тригонометрических, если произвести указанную выше замену и сверх того написать вместо