§ 293. Первообразная функция

Определение. Пусть функция есть производная функции т. е. есть дифференциал функции

Тогда функция называется первообразной для функции .

Пример 1. Функция есть производная от т. е. есть дифференциал функции

По определению функция является первообразной для функций

Пример 2. Выражение есть дифференциал функции

Следовательно, функция (как и функция первообразная для функции

Любая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных. Если есть одна из них, то всякая другая представляется выражением где С — постоянная величина. Последнюю можно задать произвольно.

Пример 3. Функция имеет бесчисленное множество первообразных. Одна из них (см. пример 1) есть всякая другая представляется выражением где С — постоянная величина. При получаем первообразную (см. пример 2), при получим снова первообразную

Пример 4. Одна из первообразных функций для есть Всякая другая представляется выражением При получаем первообразную

Предостережение. Всякую первообразную для функции можно представить как в виде так и в виде Но эти выражения нельзя приравнять, так как постоянные С в них неодинаковы. Так, первое выражение дает первообразную при а второе при

Если, вопреки предостережению, мы приравняем то получим нелепое равенство Однако можно написать:

где постоянные. Они связаны соотношением