§ 354. Предел вектор-функции

Определение. Постоянный вектор называется пределом вектор-функции при и а (или при ) если модуль разности векторов бесконечно мал при (при и ).

Запись:

Пояснение. Отнесем переменный вектор к неподвижному началу О (см. рис. 393). Если при и а подвижный конец стремится к совпадению с неподвижной точкой то вектор есть предел вектора Разность есть вектор а модуль последнего бесконечно мал.

Замечание 1. Если модуль вектор-функции бесконечно мал, то и сам вектор называется бесконечно малым. Порядком малости вектора называется порядок малости его модуля.

Замечание 2. Непрерывность вектор-функции определяется так же, как для скалярной функции (§ 218). Наглядно непрерывность вектор-функции выражается в том, что ее годографом является сплошная линия. Если вектор есть непрерывная функция аргумента то его координаты — тоже непрерывные (скалярные) функции и обратно.

Замечание 3. Теоремы о пределе суммы и произведения распространяются и на вектор-функции, причем можно рассматривать всевозможные произведения (скалярной функции на векторную, скалярное произведение двух вектор-функций, векторное их произведение и смешанное произведение трех вектор-функций). Теорема о пределе частного применяется к единственному виду деления, рассматриваемого в векторной алгебре (деление вектор-функции на скалярную).