§ 455. Вычисление двойного интеграла (простейший случай)

Пусть область задана неравенствами

т. е. изображается прямоугольником (рис. 441).

Тогда двойной интеграл вычисляется по одной из формул

Выражения, стоящие в правых частях, называются повторными интегралами.

Замечание. В формуле (2) сначала вычисляется определенный интеграл . В процессе этого интегрирования у рассматривается как постоянная величина.

Но результат интегрирования рассматривается как функция у, и второе интегрирование (в пределах от с до d) выполняется по аргументу у. В формуле (3) порядок действий обратный.

Пояснение. Двойной интеграл выражает объем V призматического тела (рис. 442) с основанием

Рис. 441

Рис. 442

Тот же объем получается из переменной площади продольного сечения (она зависит от ординаты ) по формуле (§ 336)

Площадь выражается формулой

Сопоставляя (4), (5) и (6), получаем (2). Аналогично получаем (3).

Обозначения. Двойной интеграл взятый по прямоугольнику, стороны которого параллельны осям обозначается

(внешние знаки интеграла соответствуют внешним дифференциалам).

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

Решение. Область интегрирования определяется неравенствами

и представляет прямоугольник со сторонами, параллельными осям Сначала вычисляем определенный интеграл где у рассматривается как постоянная величина:

Теперь по формуле (2) получаем:

Пример 2. Вычислить двойной интеграл

Решение. По формуле (3) находим:

Пример 3. Прямоугольный параллелепипед (рис. 443) срезан сверху параболоидом вращения с параметром Вершина параболоида совпадает с центром С верхнего основания, ось вертикальна. Определить объем V образовавшегося тела, если стороны его основания

а высота

Решение. Выбираем систему координат как на рис. 443. Уравнение параболоида будет:

Искомый объем равен двойному интегралу по прямоугольной области т. е.

Вместо этого интеграла можно взять учетверенный интеграл

Рис. 443

по области (вследствие симметрии тела относительно плоскостей т. е.

Находим последовательно: