§ 270. Исторические сведения о формуле Тейлора

1. Бесконечные ряды у Ньютона. Для нахождения производной данной функции и главным образом для решения обратной задачи И. Ньютон заменял данную функцию бесконечным степенным рядом, т. е. выражением

с неограниченно растущим числом членов. Коэффициенты брались так, чтобы выражение (1) по мере роста числа членов давало все более точные значения функции. Так, функцию Ньютон заменял выражением и писал:

Если то члены образуют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, и ее сумма равна Если же то сумма

при не стремится к Учитывая это обстоятельство, Ньютон всегда ограничивался достаточно малыми значениями

Для разложения функций в бесконечные ряды Ньютон пользуется разнообразными приемами. Так, формулу

установленную ранее Паскалемдля целых положительных Ньютон применяет к дробным и отрицательным значениям Тогда число членов неограниченно возрастает. При получается формула (2), при получается:

Чтобы найти производную Ньютон дифференцирует

почленно выражение (2). Сопоставление с (4) показывает, что

2. Ряд Тейлора. В 1715 г. Б. Тейлор сложным и крайне нестрогим способом нашел общий вид выражения (1) для данной функции . В нынешних обозначениях результат имеет вид

Так, если то Значит, так что формула (6) дает разложение (2). Если получим разложение (4).

3. Вывод Маклорена. Через 30 лет К. Маклорен дал следующий простой вывод формулы Тейлора. Он рассматривает равенство

и, желая определить коэффициенты последовательным дифференцированием находит:

Подставляя в выражения (7) и он последовательно получает:

4. Ряд Тейлора в общем виде. Таким же образом выводится формула

дающая разложение функции по степеням . Эта формула тоже была известна Тейлору; по существу она не дает ничего нового в сравнении с (6).

Так, для функции при формула (10) дает:

Если же взять функцию то по формуле (6) найдем:

Положив получим формулу

которая отличается от (11) только обозначениями.

5. Остаток ряда Тейлора. Функции, которые были известны в 18 веке, допускают разложение в ряд Тейлора (10) (при любых значениях а, кроме тех, при которых функция или одна из ее производных обращается в бесконечность). Основываясь на своем ограниченном

опыте, математики 18 века не сомневались в том, что всякая непрерывная функция разлагается в ряд Тейлора. Однако ощущалась потребность в точной оценке погрешности, которую дает формула (10), если ее оборвать на члене,

В 1799 г. Ж. Л. Лагранж вывел для «остатка ряда Тейлора», т. е. для разности

следующее выражение:

Здесь некоторое число, лежащее между а их.

Доказательство Лагранжа предполагало разложимость функции в ряд Тейлора. Четверть века спустя О. Л. Коши доказал формулу (15), не опираясь на это предположение; он также дал другое выражение остатка. По выражению остатка стало возможным судить и о разложимости функции в ряд Тейлора: если то функция разлагается в ряд Тейлора, в противном случае не разлагается.

Коши дал первый пример функции, которая хотя и обладает в точке всеми производными, но не разлагается в ряд (10) по степеням а (практического значения такие функции не имеют).