§ 409. Возведение положительного числа в комплексную степень
при всех действительных значениях и сходится всюду и имеет суммой 
.
При любом комплексном значении и ряд (1) тоже сходится, т. е. его частичные суммы 
(которые теперь являются комплексными числами) стремятся к конечному пределу (который также является комплексным числом).
На этом основано следующее определение нового действия — возведения положительного числа в комплексную степень.
Определение. Возвести число 
(основание натуральных логарифмов) в комплексную степень 
значит взять сумму ряда (1). За комплексную степень и всякого другого положительного числа а принимается величина 
а (при действительном значении и она тождественна с 
Замечание. На комплексные степени положительных чисел распространяются все правила действия со степенями. Но их надо доказать особо.
Пример 1. Возвести число в степень 
Решение. По определению
Абсцисса суммы равна
(ср. § 272). Ордината суммы равна
Значит,
В данном случае получилось действительное число. Пример 2. Вычислить 10. Решение. По определению
где
Пример 3. Вычислить 
Решение. Имеем (ср. пример 2):
