§ 134. Точка пересечения трех плоскостей

Три плоскости могут не иметь ни одной общей точки (если по крайней мере две из них параллельны, а также если прямые их пересечения параллельны), могут иметь бесчисленное множество общих точек (если все они проходят через одну прямую) или иметь только

одну общую точку. В первом случае система уравнений

не имеет решений, во втором имеет бесчисленное множество решений, в третьем — только одно решение. Для исследования удобнее всего применить определители (§ 183, 190), но можно обойтись и средствами элементарной алгебры.

Пример 1. Плоскости

не имеют общих точек, так как плоскости (1) и (2) параллельны (§ 125). Система уравнений несовместна (уравнения (1) и (2) противоречат друг другу).

Пример 2. Исследовать, есть ли общие точки у трех плоскостей

Ищем решение системы (4)-(6). Исключив 2 из (4) и (5), получаем исключив 2 из (4) и (6), получаем Эти два уравнения несовместны. Значит, три плоскости не имеют общих точек. Так как среди них нет параллельных плоскостей, то три прямые, по которым плоскости попарно пересекаются, параллельны.

Пример 3. Исследовать, есть ли общие точки у плоскостей

Поступая, как в примере 2, получим оба раза т. е. фактически не два, а одно уравнение. Оно имеет бесчисленное множество решений. Значит, три

плоскости имеют бесчисленное множество общих точек, т. е. проходят через одну прямую. Пример 4. Плоскости

имеют одну общую точку так как система уравнений имеет единственное решение