§ 28. Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой

равно абсолютному значению величины

т.е.

Пример. Найти расстояние от точки до прямой

Решение.

Замечание 1. Пусть прямая (1) не проходит через начало О и, значит, (§ 16). Если при этом знаки одинаковы, то точки лежат по одну сторону от прямой (1); если противоположны, — то по разные стороны (ср. § 27); если же (что возможно лишь при то лежит на данной прямой (§ 8).

Величина называется ориентированным расстоянием от точки до прямой (1). В рассмотренном примере ориентированное расстояние равно Знаки противоположны: значит, точки лежат по разные стороны от прямой

Замечание 2. Формула (3) выводится проще всего следующим образом.

Пусть (рис. 24) — основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую (1). Тогда

Координаты найдем как решение системы

где второе уравнение представляет прямую (§ 26). Для облегчения выкладок преобразуем первое уравнение системы к виду

Решая (5) и (6) относительно находим:

Подставив (7) и (8) в (4), найдем:

Рис. 24