§ 211. Расширение понятия предепа

Если переменная величина бесконечно большая, то (условно) говорят, что «стремится к бесконечности» или «имеет бесконечный предел».

Запись:

Если бесконечно большая величина с некоторого момента остается положительной, то говорят, что она «стремится к плюс бесконечности» и пишут:

Если бесконечно большая величина с некоторого момента остается отрицательной, то говорят, что она «стремится к минус бесконечности» и пишут:

Вместо записи (1) для большей выразительности иногда пишут:

Пример 1. Функция при имеет бесконечный предел:

Чтобы подчеркнуть, что функция при может принимать как положительные значения (при ), так и отрицательные (при ), пишут:

Пример 2. Запись означает, что когда абсолютное значение неограниченно возрастает, функция стремится к нулю.

Пример 3. Можно записать:

или

Вторая запись оставляет открытым вопрос о знаке функции Но нельзя в левых частях вместо написать Последняя запись включала бы и тот случай, когда а тогда функция стремится не к бесконечности, а к нулю, т. е.

Замечание. Бесконечно большая величина не имеет предела в ранее определенном смысле (§§ 203— 205), так как никак нельзя сказать, например, что «разность между остается меньшей заранее данного положительного числа». Таким образом, введение бесконечного предела расширяет понятие предела. В отличие от бесконечного предела предел, определенный ранее, называется конечным.