§ 262. Правило Лейбница

Чтобы составить выражение производной порядка произведения (по любому аргументу), надо разложить по формуле бинома Ньютона и в полученном разложении заменить все степени производными соответствующего порядка, причем нулевые степени подразумеваемые в крайних членах разложения, заменить самими функциями. По этому правилу получаем:

Это правило, подмеченное Лейбницем, доказывается методом полной математической индукции.

Пример 1. Найти десятую производную функции

Решение. По формуле (4) (при имеем:

Следующие слагаемые не нужно выписывать, так как производные от третьего и высших порядков равны нулю. Учитывая, что все производные от равны получаем:

Пример 2. Найти значения всех производных функции при Решение. Имеем:

так что

Непосредственное вычисление высших производных очень громоздко. Но если представить (5) в виде

и применить правило Лейбница то получим:

При имеем;

Так как то значения всех производных четного порядка равны нулю:

Так как то из (7) находим последовательно: