§ 375. Интегральный признак сходимости

Если каждый член положительного ряда

меньше предшествующего, то для исследования сходимости можно рассмотреть несобственный интеграл

где непрерывная убывающая функция принимающая при значения

Ряд (1) сходится или расходится, в зависимости от того, сходится или расходится несобственный интеграл (2). В случае сходимости остаток ряда (1) удовлетворяет неравенствам

Замечание. Интегральный признак удобен в тех случаях, когда член задан выражением, имеющим смысл не только для целых значений но и для всех больших единицы.

Пример 1. Исследуем сходимость гармонического ряда

Этот ряд — положительный; каждый его член меньше предшествующего, и общий член задан выражением - имеющим смысл для всех значений (кроме нуля). Функция в промежутке непрерывна

и убывает. Рассмотрим несобственный интеграл Он расходится, так как имеет бесконечное значение:

Значит, расходится и ряд (4) (ср. § 369, пример 3).

Пример 2. Исследуем сходимость ряда «обратных квадратов»

Здесь Соответствующий несобственный интеграл

сходится. Значит, сходится и ряд (5). Взяв 10 членов, найдем Остаток удовлетворяет неравенству

Значит, погрешность приближенного равенства

не превышает 0,1.

Пояснение. График на рис. 399 изображает функцию члены изображаются ординатами последние численно равны площадям ступенек .

Расходимость интеграла означает, что площадь полосы под линией бесконечно велика. Площадь описанной ступенчатой фигуры и подавно бесконечна, т. е. ряд их расходится.

Рис. 399

Рис. 400

Если же интеграл сходится, то площадь полосы под конечна. Площадь вписанной фигуры, заштрихованной на рис. 400, и подавно конечна, т. е. ряд сходится. Значит, сходится и ряд

Неравенство (3) поясним на частном примере Остаток численно равен площади описанной фигуры (см. рис. 399); значит, (по условию этот интеграл сходится). Тот же остаток равен площади фигуры (см. рис. 400); значит, .