§ 516. Трактриса

1. Исторические сведения. Французский врач Клод Перро в 1693 г. предложил ряду математиков такую задачу: один конец нерастяжимой нити прикреплен к материальной точке лежащей на горизонтальной плоскости; другой конец движется по прямой лежащей в той же плоскости. Какую линию опишет материальная точка, увлекаемая натянутой нитью?

Эта задача была решена Лейбницем, который составил дифференциальное уравнение искомой линии,

исходя из того, что отрезок ее касательной от точки касания до пересечения с прямой должен иметь постоянную длину (равную длине нити). Независимо от Лейбница и одновременно с ним задача была решена Гюйгенсом, который назвал найденную линию тракторией. Сейчас ее чаще называют трактрисой.

2. Определение. Трактрисой (рис. 510) называется геометрическое место точек, обладающих тем свойством, что отрезок касательной от точки касания

Рис. 510

М до пересечения с данной прямой (направляющей) имеет данную величину а. Точка А трактрисы, наиболее удаленная от направляющей, называется вершиной, а перпендикуляр опущенный из вершины на направляющую, — высотой трактрисы.

3. Параметрические уравнения (ось абсцисс — направляющая трактрисы, ось ординат направлена по высоте в сторону вершины А):

угол, составленный лучом с положительным направлением оси абсцисс

4. Особенности формы. Трактриса симметрична относительно высоты (последняя равна данному отрезку а). Прямая касается трактрисы в точке последняя является точкой возврата трактрисы. Трактриса расположена по одну сторону от направляющей и удаляется в бесконечность в обе стороны от вершины. Направляющая является асимптотой трактрисы.

5. Построение. Чтобы построить трактрису по данной ее высоте а, проводим прямую (направляющую); из какой-либо точки О этой прямой, как из центра, проводим окружность радиуса а. В пересечении с лучом находим точку А — вершину трактрисы. Через точку А, а также через одну из точек, где окружность О пересекает например через В, проводим касательные к окружности; точка их встречи. На отрезке берем ряд точек так, чтобы отрезки образовывали геометрическую прогрессию

Знаменатель можно взять произвольно. Во избежание накопления погрешностей удобно поступить так: отрезок делим пополам точкой отрезок делим пополам точкой пронумеровав для единообразия точку цифрой мы будем иметь ряд

отрезков образующих прогрессию со знаменателем Теперь между точками построим промежуточные точки в следующем порядке: сначала находим точку 2 так, чтобы отрезок был средним пропорциональным между и Заодно отмечаем точку 6, делящую пополам отрезок и точку 10, делящую пополам отрезок Тогда получим ряд отрезков образующих геометрическую прогрессию со знаменателем

Далее строим точку 1 так, чтобы отрезок был средним пропорциональным между и а затем отмечаем точку 5 — середину отрезка точку 9 — середину отрезка Таким же образом строится точка 3 (конец отрезка среднего пропорционального между и затем отмечаются точка 7 (середина ), точка 11 (середина ).

В результате мы получили ряд отрезков образующих прогрессию со знаменателем

Поступая так же, мы могли построить прогрессию отрезков со знаменателем и т. д.

Теперь на направляющей в обе стороны от точки О откладываем ряд равных отрезков

Теоретически точное значение определяется из пропорции

Но если отношение а близко к 1, то практически достаточно взять

Дальнейшее построение происходит так: точки соединяем с центром О и в пересечении лучей с окружностью отмечаем точки (на рис. 510 эти номера проставлены внутри окружности; для единообразия номером обозначена точка пересечения окружности с лучом

Отложим на дуге от точки В дуги . Через концы удвоенных дуг (соответствующие номера проставлены на рис. 510 вне окружности) проведем прямые, параллельные направляющей а из точек как из центров, проведем полуокружности радиуса а, как показано на рис. 510 (полуокружности обращены вогнутостью в сторону возрастания номеров центров, а полуокружности — в обратную сторону).

Наконец, отмечаем пару точек, где полуокружности ±1 пересекают прямую, проведенную через 7°, пару точек, где полуокружности ±11 пересекают прямую, проведенную через 2°, и т. д. Все эти попарно симметричные точки принадлежат искомой линии.

6. Трактриса как ортогональная траектория; приближенное построение. Ортогональная траектория семейства окружностей радиуса а с центрами на данной прямой (т. е. линия, которая пересекает все эти окружности под прямым углом) есть трактриса. Указанное семейство окружностей имеет бесчисленное множество ортогональных траекторий; через

каждую точку одной из окружностей проходит одна трактриса, ортогональная этой окружности. Одна из траекторий изображена на рис. 510; другая симметрична ей отностельно Остальные получаются параллельным смещением этой пары трактрис вдоль прямой Это свойство позволяет сделать довольно точный набросок трактрисы следующим образом. Начертив ряд полуокружностей радиуса а с центрами, густо расположенными на прямой и выбрав на одной из окружностей произвольную точку, удаленную от прямой примерно на расстояние - а, проводим через нее на глаз линию, пересекающую ряд соседних полуокружностей под прямым углом, т. е. направленную всякий раз вдоль соответствующего радиуса. Можно поступить и так: отметим точку пересечения радиуса взятой окружности (или продолжения этого радиуса) с соседней полуокружностью; центр последней соединим с найденной точкой и отметим точку пересечения нового радиуса со следующей полуокружностью и т. д. Получим ломаную линию, которая при достаточной густоте центров практически заменяет искомую трактрису. Точность построения уменьшается по мере приближения к вершине.

7. Построение касательной. Чтобы достроить касательную в данной точке трактрисы с данными вершиной А и направляющей достаточно засечь на точку дугой, проведенной из центра радиусом Прямая есть искомая касательная.

8. Радиус кривизны

Геометрически эта формула выражает (см. рис. 510), что радиус кривизны трактрисы в точке есть отрезок нормали от точки до пересечения с прямой проведенной перпендикулярно направляющей через точку ее пересечения с касательной в точке

Построенная указанным образом точка С есть центр кривизны трактрисы в точке

Радиус кривизны в вершине А

Радиус кривизны и отрезок нормали (от точки до пересечения с направляющей) связаны соотношением

т. е. радиус кривизны и отрезок нормали обратно пропорциональны.

9. Эволюта. Эволюта трактрисы (рис. 510), т. е. геометрическое место ее центров кривизны С, есть цепная линия (§ 517). В системе координат рис. 510 уравнение эволюты имеет вид

или, что то же,

10. Длина s дуги выражается формулой

Разность между длиной дуги и длиной ее проекции на направляющую при неограниченном удалении точки от вершины А стремится к пределу :

11. Натуральное уравнение

12. Площадь S бесконечной полосы, заключенной между трактрисой и ее асимптотой вдвое меньше площади круга, радиус которого есть высота трактрисы:

13. Тело вращения трактрисы около асимптоты (бесконечно протяженное вдоль имеет конечную поверхность, площадь которой равна поверхности

шара радиуса и конечный объем V, равный половине объема этого шара:

14. Трактриса и псевдосфера. Поверхность, образованная вращением трактрисы около ее асимптоты, называется псевдосферой (рис. 511). Эта поверхность названа так потому, что между ней и поверхностью шара существует глубокая аналогия. Так, если три точки на поверхности шара попарно соединить кратчайшими дугами, то в полученном сферическом треугольнике сумма внутренних углов всегда будет больше, чем , причем избыток суммы над равен отношению площади сферического треугольника к квадрату радиуса а шара:

Рис. 511

Если же взять три точки В, С, D (см. рис. 511) на псевдосфере (по одну сторону от параллели описанной вершиной трактрисы) и тоже соединить их кратчайшими дугами, то в полученном псевдосферическом треугольнике сумма внутренних углов всегда будет меньше, чем причем недостаток суммы до равен отношению площади псевдосферического треугольника к квадрату радиуса а параллели

Замечательно, что свойством (12) обладают прямолинейные треугольники в геометрии Н. И. Лобачевского. И вообще на любом куске псевдосферы, не содержащем точек параллели осуществляются все без исключения свойства, которыми обладает некоторый кусок плоскости в геометрии Лобачевского. Это открытие, сделанное в 1863 г. итальянским геометром Бельтрами (1835—1900), устранило то недоверие к геометрии Лобачевского, с которым к ней прежде относились почти все математики, в том числе и очень видные.