§ 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах

Длина дуги (рис. 374) выражается через полярные координаты интегралом

Дифференциал дуги выражается формулой

Пояснение. Из точки О, как из центра, проведем окружность радиуса (см. рис. 374). Ее дуга отрезок и дуга линии составляют криволинейный треугольник с прямым углом при вершине К. Хотя для такого треугольника теорема Пифагора не соблюдается в точности, однако при бесконечной малости дуги квадрат «гипотенузы» эквивалентен сумме квадратов «катетов»:

т. е.

Следовательно, выражение есть элемент (дифференциал) дуги

Рис. 374

Замечание. Формулу (2) настоящего параграфа можно получить из (2) § 338 подстановкой

Пример. Из точки О на окружности радиуса а проводится луч (рис. 375), из точки где прямая вторично встречает окружность, откладывается отрезок по направлению луча Линия, описываемая точкой при вращении луча, называется кардиоидой. Найти ее длину.

Решение. Выберем полярную систему, как на рис. 375. Имеем:

Рис. 375

Когда пробегает промежуток кардиоида описывается полностью. Длина ее согласно (1) есть

Замечание. Кардиоиду можно получить как траекторию точки окружности (см. рис. 375), катящейся без скольжения по окружности того же

радиуса. Из формулы (4) видно, что длина кардиоиды равна восьмикратному диаметру производящего круга.

Кардиоиду можно описать, изменяя от нуля до Но, если вычислить ее длину по формуле получим нуль. Источник ошибки указан в § 338 (мелкий шрифт).