§ 273. Возрастание и убывание функции
Определение 1. Функция 
называется возрастающей в точке 
а, если в достаточной близости от этой точки значениям 
большим а, соответствуют значения 
большие 
а меньшим — меньшие.
Функция 
называется убывающей в точке 
если в достаточной близости от этой точки значениям 
большим а у соответствуют значения 
меньшие 
а меньшим — большие.
Пример 1. Функция, изображенная на рис. 261, возрастает в точке 
так как справа от А точки графика лежат выше чем А, а слева — ниже. При этом рассматриваются лишь те точки графика, ординаты которых достаточно близки к ординате 
в данном примере — это те точки, которые не выходят за пределы дуги 
За пределами последней указанное соотношение нарушается; так, точка С лежит правее точки А, но ниже ее, точка 
левее, но выше.
Та же функция убывает в точке 
так как в достаточной близости от 
точки графика справа лежат ниже, чем 
а слева — выше.
Рассматриваемая функция убывает также в точке 
.
В точках 
функция не является ни возрастающей, ни убывающей (в точке 
она имеет максимум, а в точках 
минимум; § 275).
Определение 2. Функция называется возрастающей в промежутке 
если она возрастает в каждой точке внутри промежутка (на концах она может не возрастать).
Аналогично определяется функция, убывающая в промежутке 
Пример 2. Функция, изображенная на рис. 261, убывает в промежутке 
так как она убывает в каждой точке внутри промежутка (и на его концах).
Рис. 261
В промежутке 
данная функция также убывает, так как она убывает в каждой точке внутри промежутка (на концах 
и 
функция не убывает). В промежутке 
функция возрастает, в промежутке 
она не является ни возрастающей, ни убывающей. Если же этот промежуток разбить на два: 
и 
то в первом функция возрастает, во втором — убывает.
Если функция возрастает в промежутке 
то в этом промежутке большему значению аргумента соответствует всегда большее значение функции; обратно, если в промежутке 
большему значению аргумента соответствует всегда большее значение функции, то функция возрастает в промежутке 
Если функция убывает в промежутке 
то большему значению аргумента соответствует всегда меньшее значение функции, и обратно.
Геометрически: в тех промежутках, где функция возрастает, ее график (при движении направо) подымается, в промежутках, где функция убывает, график опускается (ср. пример 2).
Определение 3. Как возрастающая, так и убывающая (в данном промежутке) функция называется монотонной (в рассматриваемом промежутке).
