§ 347. Развертка (эвольвента) плоской линии

Плоскую линию можно получить из ее эволюты V следующим механическим построением.

Натянем на эволюту гибкую и нерастяжимую нить, которая, сходя с эволюты в точкер (см. рис. 385), имела бы свободный конец в точке линии Если теперь сматывать нить с эволюты, то свободный конец опишет линию

Пояснение. Натянутая нить все время остается касательной к Когда она будет сходить с эволюты в точке ее свободная часть возрастет на длину дуги свойство 2) на Свободная часть станет равной и конец нити совпадет с точкой

Это построение приводит к следующему геометрическому определению.

Определение. На данной линии V (см. рис. 385) выбираем направление возрастания дуг (любое из двух возможных, например от и по этому направлению откладываем на касательных отрезки длины которых убывают настолько же, насколько возрастает длина дуги. Геометрическое место концов этих отрезков называется разверткой (эвольвентой) данной линии.

Всякая плоская линия имеет бесчисленное множество разверток на рис. 386). Для каждой из них линия является эволютой.

Развертки линии являются ортогональными траекториями ее касательных (т. е. пересекают все касательные под прямым углом; ср. § 346, свойство 1).

О развертке пространственной линии см. § 362, замечание 2.

Рис. 386