§ 184. Свойства определителей
1. Величина определителя не изменится, если каждую строку заменить столбцом с тем же номером.
Пример 1.
Пример 2.
2. При перестановке каких-либо двух строк или каких-либо двух столбцов абсолютное значение определителя остается прежним, а знак меняется на противоположный.
Пример 3.
(переставлены вторая и третья строки; ср. § 117, п. 1) Пример 4.
(переставлены первый и третий столбцы).
3. Определитель, у которого элементы одной строки (или столбца) соответственно пропорциональны элементам другой строки (столбца), равен нулю. В частности, определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
Пример 5.
(второй и третий столбцы одинаковы).
Пример 6.
(элементы третьей строки пропорциональны элементам первой строки; ср. § 117, пп. 1, 3, 4).
4. Общий множитель всех элементов одной строки (или одного столбца) можно вынести за знак определителя.
Пример 7.
5. Если каждый элемент какого-либо столбца (строки) есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: в одном вместо каждой суммы стоит только первое слагаемое, в другом — только второе (остальные элементы в обоих определителях те же, что в данном).
Пример 8.
6. Если ко всем элементам какого-либо столбца прибавить слагаемые, пропорциональные соответствующим элементам другого столбца, то новый определитель равен старому. То же для строк.
Вытекает из пп. 5 и 3.
Пример 9. Определитель 
равен 12. Прибавим к элементам первой строки элементы второй. Получим 
Этот определитель тоже равен 
но вычисляется проще (в разложении по элементам первой строки два слагаемых равны нулю).
Пример 10. Для вычисления определителя
прибавим к элементам первого столбца элементы второго, умноженные на -2. Получим 
. Этот определитель легко вычисляется разложением по элементам первого столбца (§ 182, формула (7)). Получаем:
Пример 11. Для вычисления определителя
вычтем из элементов второго столбца элементы третьего. Получим:
Теперь вычтем из элементов третьего столбца элементы четвертого, умноженные на 2. Получим:
Разлагая по элементам третьей строки, получаем (как в примере 1 § 183):
