§ 7. Уравнение линии

Рассмотрим уравнение связывающее абсциссу и ординату у. Ему удовлетворяет множество пар значений например, Каждой паре координат (в данной системе координат) соответствует одна точка (§ 4). На рис. 8, а изображены точки Они лежат на одной прямой На этой же прямой лежит всякая другая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению . Обратно, у любой точки, лежащей на прямой координаты х, у удовлетворяют уравнению

Согласно с этим говорят: уравнение есть уравнение прямой линии Говорят также: уравнение представляет прямую . В аналогичном смысле надо понимать выражения: «уравнение прямой линии (рис. 8, б) есть

Уравнение представляет окружность (рис. 9), радиус которой содержит 7 масштабных единиц, а центр совмещается с началом координат (см. § 38).

Вообще уравнение, связывающее координаты х, у, называется уравнением линии если соблюдены два условия: 1) координаты х, у всякой точки линии удовлетворяют этому уравнению; 2) координаты

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

х, у всякой точки, не лежащей на линии не удовлетворяют этому уравнению.

Координаты точки взятой на линии произвольным образом, называют текущими координатами, так как линия может быть образована перемещением («течением») точки

Пусть (рис. 10) — последовательные положения точки на линии Построим ряд перпендикуляров к оси Получим идущие друг за другом отрезки На оси ОХ отсекаются при этом отрезки Они будут абсциссами. С этим связано происхождение терминов «абсцисса» и «ордината» Латинское слово «абсцисса» (abscissa) в переводе означает «отсеченная»; слово «ордината» есть сокращение термина «ординатим дукта» (ordinatim ducta), что означает «подряд проведенная».

Представляя каждую точку плоскости ее координатами, а каждую линию — уравнением, связывающим текущие координаты, мы сводим геометрическую задачу к «аналитической» (т. е. вычислительной). Отсюда название «аналитическая геометрия».