§ 380. Группировка членов ряда

В противоположность переместительному свойству (которое имеет место лишь для абсолютно сходящихся рядов; ср. § 379) сочетательным свойством обладает всякий сходящийся ряд.

Именно во всяком сходящемся ряде можно, не меняя по рядка членов, объединять их в какие угодно группы. Сложив члены внутри всех групп, получаем новый ряд. Он тоже сходится и его сумма — прежняя.

Пример 1. В сходящемся (по признаку Лейбница) ряде

можно сгруппировать члены следующим образом:

Сложив члены внутри групп, получим:

Этот знакоположительный ряд имеет ту же сумму, что и знакопеременный ряд (1).

Пример 2. В ряде (1) можно сгруппировать второй член с третьим, четвертый с пятым и т. д. Получим сходящийся ряд

имеющий ту же сумму.

Замечание. Обратное действие (раскрытие скобок) безусловно допустимо лишь в том случае, если после раскрытия скобок получается сходящийся ряд (тогда данный ряд — заведомо сходящийся). Однако возможен случай, когда данный ряд сходится, а после раскрытия скобок получается расходящийся ряд.

Пример 3. Ряд

(геометрическая прогрессия ) сходится и имеет сумму .

Если раскрыть скобки, то получим ряд

он расходится, так как частичные суммы с четными номерами имеют прежнии предел а с нечетными номерами — предел .

Пример 4. Рассмотрим ряд

Его можно представить в виде

Здесь можно раскрыть скобки, так как полученный ряд

— сходящийся. Действительно, всякая частичная сумма равна единице, а частичная сумма

стремится к единице. Сумма ряда (8) является также суммой ряда (6):