§ 325. Способ подстановки в определенном интеграле

Правило. Для вычисления интеграла можно ввести вспомогательную переменную связанную с некоторой зависимостью. Подынтегральное выражение преобразуется так же, как при неопределенном интегрировании (§ 300), к виду Сверх того, надо заменить пределы новыми пределами с таким расчетом, чтобы этим значениям переменной

соответствовали данные значения переменной Если это возможно, то имеем:

Пример 1. Найти

Решение. Введем вспомогательную переменную связанную с зависимостью

Выражая через 2, получаем:

Подынтегральное выражение преобразуется к виду

Пределы надо заменить новыми по формуле (2): Согласно (1) имеем:

Пример 2. Найти

Решение. Подстановка

приводит (§ 303, пример 1) подынтегральное выражение к виду

Верхний знак берется, если принадлежит первой или четвертой четверти, нижний — если второй или третьей.

Новые пределы надо выбрать так, чтобы

Это возможно, и притом не единственным образом. Можно взять:

Тогда изменяется в пределах четвертой и первой четвертей, поэтому в формуле (5) берем верхний знак; получаем:

Можно также взять:

но тогда в формуле (5) берем нижний знак; получаем:

Если взять в (5) верхний знак, то получим неверный результат

Замечание. Способ подстановки может привести к ошибке, если не соблюдено условие, высказанное

в правиле, а именно, если нет таких значений которым соответствовали бы данные значения пределов интегрирования. С подобными ошибками мы встретимся в примере 3.

Пример 3. Вычислить интегралы

(они отличаются друг от друга только значениями верхнего предела.)

Попробуем ввести вспомогательную функцию

При преобразовании подынтегрального выражения сомножитель заменяется выражением Чтобы преобразовать сомножитель выразим через получим:

Казалось бы, проще всего взять подстановку

Однако тогда невозможно заменить в интегралах и нижний предел новым пределом которому соответствовало бы по формуле (8) значение Поэтому возьмем подстановку

и попробуем применить ее сначала к интегралу Теперь значения пределов соответствуют значениям Из (9) мы находим:

и по формуле (1) получаем:

или, переставляя пределы,

Вводим новую вспомогательную функцию

дающую новые пределы

Соответствующая подстановка будет:

и мы получаем:

Как в примере 1 § 324, найдем:

Если вместо (9) применить подстановку (8), не обратив внимания на нарушение условия, высказанного в правиле, то вместо (12) получим: и для найдем неверное значение

Что касается интеграла то Для него не подходит ни подстановка (8), ни подстановка (9), так как первая не дает нижнего предела, а вторая — верхнего. Если по ошибке применить, скажем, подстановку (8), то для получится: так как подынтегральная функция во всем промежутке интегрирования положительна.

Для вычисления интеграла можно его разбить на два слагаемых:

К первому слагаемому применим подстановку (9), а ко второму — подстановку (8). Каждое из двух слагаемых примет вид

так что

Этот интеграл — несобственный (§ 328), так как подынтегральная функция имеет разрыв в точке Теперь можно применить подстановку (14) (так как функция монотонна; см. § 328, замечание 3). Найдем, что

Этот интеграл тоже несобственный (§ 327). Несмотря на это, к нему можно применить интегрирование по частям (§ 327, замечание 1), так что, поступая, как в примере 1 § 324, найдем

Первое слагаемое равно нулю, и окончательно получим: