§ 111. Векторное произведение двух векторов
Определение. Векторным произведением вектора а (множимое) на не коллинеарный ему вектор 
(множитель) называется третий вектор с (произведение), который строится следующим образом:
1) его модуль численно равен площади параллелограмма 
на рис. 155), построенного на векторах 
т. е. он равен 
направление перпендикулярно плоскости упомянутого параллелограмма;
3) при этом направление вектора с выбирается (из двух возможных) так, чтобы векторы 
с составляли правую систему (§ 110).
Обозначение: 
или 
Дополнение к определению. Если векторы 
коллинеарны, то фигуре 
считая ее (условно) параллелограммом, естественно приписать нулевую площадь. Поэтому векторное произведение коллинеарных векторов считается равным нуль-вектору.
Рис. 155
Поскольку нуль-вектору можно приписать любое направление, это соглашение не противоречит пунктам 2 и 3 определения.
Замечание 1. В термине «векторное произведение» первое слово указывает на то, что результат действия есть вектор (в противоположность скалярному произведению; ср. § 104, замечание 1).
Пример 1. Найти векторное произведение 
где 
основные векторы правой системы координат (рис. 156).
Решение.
1. Так как длины основных векторов равны единице масштаба, то площадь параллелограмма (квадрата) 
численно равна единице. Значит, модуль векторного произведения равен единице.
2. Так как перпендикуляр к плоскости 
есть ось 
то искомое векторное произведение есть вектор, коллинеарный вектору к; а так как оба они имеют модуль 1, то искомое векторное произведение равно либо k, либо -k.
3. Из этих двух возможных векторов надо выбрать первый, так как векторы 
к образуют правую систему (а векторы 
левую).
Итак,
Пример 2. Найти векторное произведение 
Решение. Как в примере 1, заключаем, что вектор 
равен либо k, либо -k. Но теперь надо выбрать -k, так как векторы 
образуют правую систему (а векторы 
левую). Итак,
Пример 3. Векторы 
имеют длины, соответственно равные 80 и 50 см, и образуют угол 30°. Приняв за единицу длины метр, найти длину векторного произведения а 
Рис. 156
Решение. Площадь параллелограмма, построенного на векторах 
равна 
Длина искомого векторного произведения равна 
Пример 4. Найти длину векторного произведения тех же векторов, приняв за единицу длины сантиметр.
Решение. Так как площадь параллелограмма, построенного на векторах 
равна 
то длина векторного произведения равна 2000 см, т. е. 
Из сравнения примеров 3 и 4 видно, что длина вектора 
зависит не только от длин сомножителей 
но также и от выбора единицы длины.
Физический смысл векторного произведения. Из многочисленных физических величин, изображаемых векторным произведением, рассмотрим только момент силы.
Пусть А есть точка приложения силы 
Моментом силы 
относителько точки О называется векторное произведение 
Так как модуль этого векторного произведения численно равен площади параллелограмма 
(рис. 157), то модуль момента равняется произведению основания 
на высоту 
т. е. силе, умноженной на расстояние от точки О до прямой, вдоль которой действует сила.
В механике доказывается, что для равновесия твердого тела необходимо, чтобы равнялась нулю не только сумма векторов 
, представляющих силы, приложенные к телу, но также и сумма моментов сил. В том случае, когда все силы параллельны одной плоскости, сложение векторов, представляющих моменты, можно заменить сложением и вычитанием их модулей. Но при произвольных направлениях сил такая замена невозможна. В соответствии с этим векторное произведение определяется именно как вектор, а не как число.
Рис. 157
