§ 74. Связь между полярными и прямоугольными координатами

Пусть полюс О (рис. 102) полярной системы совпадает с началом координат прямоугольной системы и полярная ось ОХ совпадает с положительно направленной

Рис. 101

Рис. 102

осью абсцисс. Пусть произвольная точка плоскости, х и у — ее прямоугольные координаты, а — полярные. Тогда

Обратно,

и

Но одной формулы (4) (а также только одной из формул (3)) недостаточно для определения угла (см. ниже пример 1).

Пример 1. Прямоугольные координаты точки равны Найти ее полярные координаты (при указанном выше взаимном расположении обеих систем).

Решение. По формуле , по формуле . Значит, либо , либо Так как точка лежит в четвертой четверти, то лишь первое значение правильно. Главное значение есть

Если воспользоваться формулой , то получим Следовательно, либо либо Только второе значение правильно.

Пример 2. В прямоугольной системе окружность, изображенная на рис. 103, представляется уравнением (§ 38). Формулы (1) и (2) позволяют найти ее уравнение в полярной системе (О — полюс, полярная ось). Получаем Это уравнение распадается на два: 1) Первое представляет (при любом значении полюс О. Второе дает все точки окружности, в том числе полюс при Поэтому первое уравнение можно отбросить; получаем:

Это уравнение получается непосредственно из треугольника с прямым углом при вершине .

Замечание. Если не вводить отрицательных значений то в уравнении (5) угол можно брать в четвертой и первой четвертях, а во второй и третьей — нельзя. Так, при уравнение (5) дает Действительно, луч (см. рис. 103), кроме полюса, не имеет точек, общих с окружностью. Если же ввести отрицательные значения (§ 73, замечание 2), то координаты дают точку на продолжении прямой .

Рис. 103

Пример 3. Определить, какую линию представляет уравнение

Решение. Переходя к прямоугольной системе, находим:

т. е.

или

Уравнение (6) представляет окружность радиуса а (рис. 104), проходящую через полюс О и касающуюся полярной оси ОХ.