§ 450. Достаточные условия экстремума (случай двух аргументов)
Теорема 1. Пусть
есть второй дифференциал функции 
в ее критической точке 
(§ 449) (так что числа 
дают значения вторых производных 
в точке 
Если при этом имеет место неравенство
то функция 
имеет в точке 
экстремум: максимум, когда А (или С) отрицательно, минимум — если А (или С) положительно.
Замечание 1. Числа 
при условии (2) всегда имеют одинаковые знаки.
Теорема 1 дает достаточное условие существования экстремума.
Пример 1. Функция 
(ср. пример § 449) имеет в точке (1; 1) экстремум, так как первые производные в этой точке равны нулю, а вторые производные 
имеют значения 
так что неравенство (2) удовлетворено. Экстремум является минимумом, так как 
положительны.
Теорема 2. Если в критической точке 
имеет место (при обозначениях теоремы 1) неравенство
то функция 
не имеет экстремума в точке 
Теорема 2 дает достаточное условие отсутствия экстремума.
Пример 2. Функция 
(ср. пример § 449) в точке (0; 0) не имеет экстремума: хотя первые производные и обращаются здесь в нуль, но теперь имеем:
так что
Замечание 2. Если в критической точке имеет место равенство
то функция может иметь здесь экстремум (максимум или минимум), а может и не иметь. Этот случай требует дополнительного исследования.
