§ 271. Формула Тейлора

Теорема. Если функция обладает в замкнутом промежутке производными до порядка включительно, то

где некоторое число, лежащее между а Формулу (1) называют формулой Тейлора.

Последнее слагаемое , называемое остаточным членом в форме Лагранжа дает точное выражение разности между и выражением

(«многочлен Тейлора»):

Формула Тейлора устанавливает, что уравнение (1), в котором за неизвестное принимается имеет по меньшей мере одно решение, лежащее между (ср. § 264).

Когда а рассматривается как постоянная, как переменная величина, вместо пишут

При получаем так называемую «формулу Маклорена»

Пример. Применим формулу (4) при к функции Имеем:

Значит,

Формула (4) принимает вид

Здесь лежит между нулем и Важно отметить, что формула верна только при В этом случае условие теоремы выполнено: функция в замкнутом промежутке обладает всеми производными. Решая уравнение (5) относительно находим:

Легко проверить, что при первый корень действительно лежит между нулем и .

Если же то условие теоремы не выполняется, так как функция не имеет производных в точке -1, а эта точка либо оказывается внутри промежутка (если ), либо совпадает с его концом (если ).

Формула (5) становится неверной: при левая часть теряет смысл, при уравнение (5) имеет мнимые корни.

Замечание. При формула Тейлора (2) (в которой вместо надо написать дает формулу конечных приращений (§ 265)

При получаем:

или при других обозначениях:

Эта формула дает выражение разности между приращением функции и ее дифференциалом (отрезок на рис. 258).

Если вторая производная непрерывна при рассматриваемом значении то разность между приращением функции и ее дифференциалом имеет второй порядок относительно (когда или более высокий (когда ). Ср. § 230.

Рис. 258