§ 190а. Система n уравнений с n неизвестными
Исчерпывающий перечень возможных случаев слишком сложен. Поэтому ограничимся следующими сведениями.
Пусть дана система 
уравнений с 
неизвестными
1. Если определитель 
порядка
не равен нулю, то система имеет единственное решение
где 
определитель, полученный из А заменой элементов 
соответствующими свободными членами 
аналогично получаются определители 
2. Если 
а среди определителей 
есть не равные нулю, то система не имеет решений.
3. Пусть теперь 
причем один из миноров 
порядка определителя А (например, минор, получаемый рьтчеркиванием второй строки и третьего столбца) не равен нулю. Тогда система сводится к 
уравнениям; одно из уравнений (второе — соответственно номеру 
есть следствие остальных. Одному из неизвестных (неизвестному 
соответственно номеру столбца) можно дать произвольное значение. Остальные 
неизвестные определяются единственным образом из системы 
уравнений.
Замечание. В случае, когда все определители 
порядка, являющиеся минорами определителя А, равны нулю, система может не иметь решений, а может сводиться к 
уравнениям или меньшему их числу.
Пример 1. Решить систему
Определитель системы А (см. § 185, пример 3) равен -303. Пользуясь приемами, объясненными в § 185, найдем:
Согласно формулам (3) имеем:
Пример 2. Решить систему
Здесь
Между тем
Поэтому система не имеет решений (если первое уравнение почленно умножить на 2 и полученное уравнение почленно сложить со вторым и третьим, то получим 
, что противоречит четвертому уравнению).
Пример 3. Решить систему
Здесь
Вычеркнув четвертую строку и четвертый столбец, получим минор
Система сводится к трем уравнениям:
Четвертое уравнение есть их следствие (ср. пример 2). Неизвестному и можно дать любое значение. Из (4) находим:
