§ 176. Конус второго порядка

Конической поверхностью называется всякая поверхность, порождаемая движением прямой линии (образующей), проходящей через неподвижную точку (вершина конической поверхности). Всякая (не проходящая через вершину) линия, которая пересекает образующую в любом положении последней, называется направляющей. Поверхность

которая, как показано ниже, является конической, называется конусом второго порядка (рис. 194).

Сечение ее плоскостью представляется уравнением

т. е.

Это — пара прямых и проходящих через начало координат (§ 58). В сечении плоскостью получаем пару прямых и

Сечение всякой другой плоскостью проходящей через ось представляется (§ 169) системой

Это — тоже пара прямых:

и

проходящих через начало координат. Значит, поверхность (1) — коническая; точка О — ее вершина.

Сечение конуса (1) всякой плоскостью есть эллипс

он обращается в точку при Все эллипсы (7) подобны, вершины их лежат на сечениях (2) и (3).

При эллипсы (7) обращаются в окружности и конус второго порядка — в круглый конус

Рис. 194

Конус второго порядка можно определить как поверхность, полученную равномерным сжатием круглого конуса к плоскости осевого сечения.

Сечения конуса (1) плоскостями, параллельными плоскости (или плоскости есть гиперболы.

Замечание. Сечения всякого конуса второго порядка плоскостями, не проходящими через вершину, являются окружностями, эллипсами, гиперболами и параболами. Каждая из этих линий может быть принята за направляющую. Ввиду этого целесообразно называть конус второго порядка эллиптическим

Пример 1. Уравнение представляет круглый конус; сечение плоскостью есть пара прямых Образующие составляют с осью угол 45°.

Пример 2. Уравнение представляет (некруглый) конус второго порядка. Сечение всякой плоскостью есть гипербола при она обращается в пару образующих. Та же картина для сечений Сечения эллипсы.