§ 247а. Некоторые поучительные примеры

Нижеприводимые примеры служат для понимания более тонких вопросов, возникающее при дифференцировании обратных тригонометрических функций

Пример 1.

Полученное выражение совпадает с дифференциалом функции Однако только для положительных имеет место равенство

Для отрицательных имеем:

При функция (рис. 237) разрывна (ее предел слева равен а справа ; ср. § 218) и, значит, не дифференцируема, тогда как функция (рис. 238) непрерывна и производная ее при равна -1. Правая ветвь графика

Рис. 237

Рис. 238

совпадает с правой половиной графика , а левая ветвь — с левой половиной пунктирной линии рис. 238 (последняя даст неглавное значение многозначной функции ).

Пример 2.

Полученное выражение совпадает с производной функции

При эта функция связана с данной соотношением

(рис. 239), а при соотношением

При функция имеет разрыв и не обладает производной.

Пример 3.

Эта производная равна +1, когда , и -1, когда . При когда производная не существует.

Замечание. В промежутке имеем: в промежутке имеем:

Рис. 239

в промежутке имеем: (рис. 240). Поэтому внутри первого промежутка производная равна 1, внутри второго -1 и т. д.

В точках производная имеет разрыв; в каждой из этих точек существуют односторонние производные (ср. § 231, пример 2).

Рис. 240