§ 41. Другое определение эллипса
Определение. Эллипс есть геометрическое место точек 
сумма расстояний от которых до двух
данных точек 
имеет одно и то же значение 2а:
Точки 
называются фокусамиэллипса, а расстояние 
фокусным расстоянием; оно обозначается 
Так как 
, т.е.
Определение настоящего параграфа равнозначно с определением § 40 (ср. уравнение (7) с уравнением (2) § 40).
Каноническое уравнение эллипса. Примем прямую 
(рис. 38) за ось абсцисс и середину О отрезка 
за начало координат. Согласно определению эллипса и равенству (1) § 10 имеем 
. Согласно § 10
Освободившись от радикалов, получим равносильное уравнение
Рис. 37
Рис. 38
или
Вследствие неравенства (3) величина 
положительна. Поэтому уравнение (6) можно написать в виде
где
Уравнение (7) совпадает с (2) § 40. Значит, линия, названная в настоящем параграфе эллипсом, действительно тождественна с линией, названной эллипсом в § 40. При этом оказывается, что центр О эллипса (рис. 39) совпадает с серединой отрезка 
т. е. 
Большая ось 
эллипса, согласно равенству (1), оказывается равной неизменной сумме расстояний 
(см. рис. 38). Малая полуось 
(см. рис. 39) и отрезок 
являются катетами прямоугольного треугольника 
гипотенуза 
этого треугольника равна а. Это видно из равенства (8), а также из того, что равные отрезки 
и 
составляют в сумме 2а (по определению эллипса). Таким образом, расстояние от фокуса до конца малой оси равно длине большой полуоси.
Отношение 
фокусного расстояния к большой оси, т. е. величина - 
называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет обозначается греческой буквой е («эпсилон»):
Вследствие неравенства (3) эксцентриситет эллипса меньше единицы. Эксцентриситет 
и коэффициент
Рис. 39
эллипса (§ 40) в силу равенства (8) связаны соотношением
см, а сумма расстояний от произвольной его точки до фокусов составляет 10 см. Тогда большая ось 
, эксцентриситет 
Коэффициент сжатия 
Малая ось 
. Каноническое уравнение эллипса есть
то 
т. е. фокусы 
нужно считать совпавшими. Эксцентриситет окружности равен нулю.
