§ 264. Теорема Лагранжа о среднем значении

Формулировка теоремы. Если функция дифференцируема в замкнутом промежутке то отношение равно значению производной в некоторой точке лежащей внутри промежутка

Геометрический смысл. Отношение (рис. 253) есть угловой коэффициент хорды угловой коэффициент касательной Теорема Лагранжа утверждает, что между на дуге найдется по меньшей мере одна точка где касательная параллельна хорде при условии, что в каждой точке дуги существует касательная.

Из рис. 254 видно, что при несоблюдении этого условия теорема может быть неверной. В точке С нет касательной (существуют лишь односторонние касательные — правая и левая). Функция изображаемая графиком недифференцируема при и теорема Лагранжа оказывается неверной: ни при каком промежуточном значении производная не равна отношению

Рис. 253

Рис. 254

Механический смысл. Пусть расстояние от точки в момент до ее начального положения. Тогда есть путь, пройденный с момента а по момент отношение средняя скорость за этот промежуток времени. Теорема Лагранжа утверждает, что в какой-то промежуточный момент скорость точки равна средней скорости движения при условии, что в каждый момент точка обладает определенной скоростью.

Теорема может оказаться неверной при невыполнении этого условия. Так, если точка движется первый час со скоростью 20 м/час, а второй — со скоростью 30 м/час, то средняя скорость движения равна 25 м/час; такой скорости точка не имела ни разу в течение двух часов. Причина нарушения теоремы в том, что в конце первого часа точка не обладала определенной скоростью.

Другая формулировка теоремы Лагранжа. Уравнение

(при выполнении условия теоремы) имеет по меньшей мере один корень внутри промежутка .

Положение этого корня (или корней) зависит от вида функции f(x). Если она — квадратичная (график —

парабола; рис. 255), получаем уравнение первой степени; его корень лежит в точности на середине т. е.

Для остальных функций это свойство осуществляется приблизительно; именно, если а имеет постоянное значение, стремится к , то один из корней, как правило, стремится к середине отрезка .

Пример 1. Пусть Тогда Формула (1) принимает вид

откуда

т. е. лежит в точности на середине промежутка

Пример 2. Пусть тогда Возьмем Имеем:

Согласно теореме Лагранжа уравнение должно иметь корень, лежащий между 10 и 12. Действительно, его положительный корень лежит на отрезке (10, 12) и притом близко к середине.

Замечание. Теорема Лагранжа остается в силе и в том случае, когда функция дифференцируема лишь во внутренних точках промежутка (на концах же не дифференцируема, а только непрерывна).

Рис. 255