§ 286. Нахождение асимптот, не параллельных оси ординат

Для нахождения асимптот линии не параллельных оси надо сначала искать при . Если в обоих случаях нет конечного предела, то нет и искомых асимптот.

Если же то надо затем искать Если этот предел равен то прямая есть асимптота при бесконечном удалении вправо. Аналогично, если , то прямая есть асимптота при удалении влево.

Если величина не имеет конечного предела при то соответствующей асимптоты нет.

Выражение дает вертикальное отклонение (рис. 305) данной линии от ее асимптоты уравнение которой .

Если это выражение при с некоторого момента сохраняет знак плюс, то точка приближается к асимптоте сверху (рис. 305, а), если минус — снизу (рис. 305, б). Если знак не сохраняется, то точка колеблется около асимптоты (рис. 305, б).

Аналогично для асимптоты

Рис. 305

Пример 1. Найти асимптоты гиперболы

Решение. Уравнению (1) соответствуют две однозначные функции

и

Рассмотрим первую (ей отвечают бесконечные ветви рис. 306). Имеем:

Далее,

Следовательно, прямая есть асимптота ветви

Выражение сохраняет при знак минус. Поэтому ветвь приближается к асимптоте снизу.

Далее находим:

Следовательно, прямая асимптота ветви

Выражение сохраняет при знак минус. Поэтому и ветвь приближается к асимптоте снизу.

Исследуя таким же образом функцию (ей соответствуют ветви и ), найдем,

что прямая есть асимптота ветви ? а прямая асимптота ветви

Каждая из ветвей приближается к своей асимптоте сверху.

Пример 2. Найти все асимптоты линии

Функция ни при каком значении не имеет бесконечного предела. Значит, асимптот, параллельных нет. Чтобы найти асимптоты, не параллельные ищем сначала

и затем

Следовательно, прямая есть асимптота правой бесконечной ветви. Вычисляя те же пределы при найдем т. е. левая бесконечная ветвь имеет асимптоту (рис. 307).

Рис. 306

Рис. 307