§ 515. Эпициклоиды и гипоциклоиды

1. Определение. Как эпициклоида (рис. 504, а), так и гипоциклоида (рис. 504, б) есть линия которую описывает точка закрепленная в плоскости некоторого круга С радиуса (производящий круг), когда этот круг катится без скольжения по неподвижной окружности радиуса (направляющая). Линия называется эпициклоидой, когда окружности касаются внешним образом, и гипоциклоидой, когда касание внутреннее.

Эпициклоида рис. 504, а и гипоциклоида рис. 504, б описаны движением точки находящейся на окружности производящего круга. Такие эпициклоиды и гипоциклоиды называют обыкновенными в отличие от укороченных и удлиненных. Эпициклоида (рис. 505, а) и гипоциклоида (рис. 505, б) называются укороченными, когда точка взята внутри производящего круга, т. е. когда расстояние от точки до центра С производящего круга), и удлиненными (рис. 506, а и б), когда лежит вне производящего круга, т. е. когда

Начальной точкой эпициклоиды или гипоциклоиды (А на рис. 504—506) называется такая ее точка, которая лежит на прямой соединяющей центр производящего круга с точкой опоры и находится по ту же сторону от центра что и точка опоры Точки на рис. 505, тоже начальные.

Начальные точки обыкновенной эпициклоиды и обыкновенной гипоциклоиды на рис. 504, а и б) лежат на направляющей окружности и совпадают с соответствующими точками опоры производящего круга.

Рис. 504а

Вершиной эпициклоиды или гипоциклоиды на рис. 505, а и б) называется такая ее точка, которая лежит на прямой соединяющей центр производящего круга с точкой опоры но находится на продолжении отрезка за точку .

Точки на рис. 505, тоже вершины.

Окружность, описываемая центром производящего круга, называется линией центров эпициклоиды (гипоциклоиды). Радиус линии центров равен

Рис. 5046

(кликните для просмотра скана)

2. Построение. Чтобы построить эпициклоиду или гипоциклоиду по данным: R (радиус направляющей), r (радиус производящей окружности) и d (расстояние от точки М, описывающей эпициклоиду или гипоциклоиду, до центра С производящего круга), поступаем следующим образом.

Проводим две окружности (на рис. 506, а и б они показаны пунктиром) и касающиеся друг друга в точке V внешним образом, если строится эпициклоида (рис. 506, а), и внутренним образом, если строится гипоциклоида (рис. 506, б).

Рис. 506а

Из центра проводим также окружность радиуса d (она обозначена сплошной линией и снабжена числовыми пометками) и обозначаем буквой ту из ее точек пересечения с прямой которая лежит на продолжении отрезка за точку Точка будет одной из вершин искомой линии.

Окружность делим на четное число равных дуг (мы взяли так, чтобы точка оказалась одной из точек деления. Точки деления снабжаем числовыми пометками (нулевая пометка соответствует точке пометки соответствуют одной и той же точке). Для определенности положим,

Рис. 506б

что номера пометок возрастают при обходе окружности по часовой стрелке.

Далее из центра О проводим окружность радиуса линию центров искомой эпициклоиды (гипоциклоиды) — и на ней откладываем из точки дугу градусная мера которой определяется из пропорции

и которая направлена по часовой стрелке, если строится эпициклоида, и в противоположную сторону, если строится гипоциклоида. От той же точки откладываем дугу симметричную На рис. 506, а и б, где дуги содержат по 90° каждая и легко строятся с помощью линейки и циркуля геометрически точно. В других случаях такое построение может оказаться затруднительным или вовсе невозможным. Тогда построение выполняется приближенно с требуемой степенью точности.

Каждую из дуг делим на равных частей и нумеруем точки деления буквами начиная от точки

Теперь из точки О проводим ряд концентрических окружностей, проходящих последовательно через точку носящую пометку 0, через пару точек с пометками через пару точек с пометками ±2 и т. д. На первой из этих окружностей будут лежать все вершины, на последней — все начальные точки.

Из точек как из центров, проводим полуокружности радиуса так, чтобы их концы лежали на первой и последней из концентрических окружностей и чтобы эти полуокружности можно было после поворота около точки О совместить с полуокружностью, носящей пометки Таким же образом

из центров проводятся полуокружности, которые после поворота около точки О совмещаются с полуокружностью, носящей пометки

Отмечаем точки где полуокружности встречают ту из концентрических окружностей, которая была проведена через точки затем отмечаем точки где полуокружности встречают окружность, проведенную через точки ±2, и т. д. Все точки лежат на искомой линии, причем точки совпадают с начальными точками (последние можно было получить заранее, проведя прямые

Так строится по точкам одна ветвь эпициклоиды (гипоциклоиды). Для построения соседних ветвей достаточно продолжить ряд точек С, как показано на рис. 506, а и б. Нумерацию этих точек надо произвести заново. Окружность же нет необходимости вычерчивать заново, так как она требуется лишь для построения концентрических окружностей, а последние остаются теми же.

3. Параметрические уравнения (начало координат О — в центре направляющей окружности; ось ОХ направлена к одной из начальных точек; угол поворота луча из его начального положения.

Для эпициклоиды

Для гипоциклоиды

Уравнения (26) получаются из (2а) заменой на на

4. Особенности формы. Всякая эпициклоида лежит в круговом кольце, ограниченном окружностями радиусов На первой из этих окружностей лежат вершины, а на второй — начальные точки эпициклоиды. Таким образом, вершины эпициклоиды всегда дальше от центра, чем начальные точки, как это видно на рис. 504, а, 505, а и 506, а.

Всякая гипоциклоида лежит в круговом кольце, ограниченном окружностями радиусов На первой лежат вершины, а на второй — начальные точки гипоциклоиды. Таким образом, в случае, когда вершины гипоциклоиды ближе к центру, чем начальные точки, как это видно на рис. 504, б, 505, б и 506, б. Дело обстоит наоборот в том случае, когда Гипоциклоиды этого второго типа называются перициклоидами. Мы не даем для них особых чертежей по той причине, что всякая перициклоида тождественна с некоторой эпициклоидой и отличается от последней только способом порождения. Об этом подробно сказано ниже в п. 7.

При повороте около центра О на угол, кратный у эпициклоида (гипоциклоида) совмещается сама с собой. Так, линия на рис. 504, а, где совмещается сама с собой при повороте около О на угол на

угол То же на рис. 504, б. На рис. 505, где совмещение достигается при повороте на угол, кратный .

Начальные точки обыкновенной эпициклоиды (гипоциклоиды) являются точками возврата (см. рис. 504, а и б).

Если отношение есть целое число то эпициклоида (обыкновенная, удлиненная или укороченная) является замкнутой алгебраической линией порядка а гипоциклоида — замкнутой алгебраической линией порядка Так, эпициклоида рис. 504, а (где есть кривая 8-го порядка, а гипоциклоида рис. 504, б (здесь тоже кривая 4-го порядка. Как эпициклоида, так и гипоциклоида состоит из конгруэнтных ветвей.

Если отношение есть дробь, которая в несократимой форме имеет вид то эпициклоида (гипоциклоида) — тоже алгебраическая кривая (порядка и состоит из конгруэнтных ветвей. Так, обыкновенная эпициклоида рис. есть кривая 10-го порядка, состоящая из трех конгруэнтных ветвей.

Если отношение есть иррациональное число, то эпициклоида (гипоциклоида) не замкнута, она имеет бесчисленное множество ветвей, пересекающихся друг с другом.

5. Частные виды.

1) При как удлиненная, так и укороченная гипоциклоиды представляют собой эллипс с центром в точке О. Полуоси эллипса есть

Рис. 507

концами большой оси являются начальные точки, концами малой оси — вершины гипоциклоиды. На этом способе образования эллипса основано устройство прибора, вычерчивающего эллипсы.

1а) Если при постоянных связанных соотношением разность стремится к нулю, то малая ось эллипса неограниченно уменьшается, а большая ось стремится к совпадению с диаметром направляющей окружности. Обыкновенная гипоциклоида, получаемая в предельном случае представляет собой отрезок прямой, а именно тот диаметр направляющей окружности, который соединяет начальные точки. При одном полном обороте производящего круга этот диаметр описывается в одном направлении, при следующем обороте — в противоположном направлении. Таким образом, и в этом предельном случае начальные точки обыкновенной гипоциклоиды являются точками возврата.

2) При каждая из эпициклоид представляет собой улитку Паскаля (§ 508); в частности, обыкновенная эпициклоида рассматриваемого типа есть не что иное, как кардиоида.

3) При обыкновенная гипоциклоида представляет собой астроиду (рис. 508); эта линия

Рис. 508

характеризуется тем, что отрезок ее касательной, заключенный между двумя взаимно перпендикулярными прямыми (проходящими через две нары противоположных начальных точек), имеет одну и ту же длину Уравнение астроиды в прямоугольной системе координат, указанной на рис. 508, есть

или в параметрической форме

6. Предельные случаи.

Случай 1. При бесконечном радиусе направляющей окружности и данном радиусе производящего круга эпициклоида (гипоциклоида) обращается в циклоиду (§ 514, п. 1) с тем же радиусом производящего круга.

Случай 2. При бесконечном радиусе производящего круга последний обращается в прямую на рис. 509), которая катится без скольжения по направляющей окружности при этом эпициклоида (гипоциклоида) обращается в линию, описываемую точкой неподвижно скрепленной с прямой

Если точка лежит на самой прямой (как точка на рис. 509), то описываемая линия на рис. 509) есть эвольвента направляющей окружности (§ 512, пп. 1 и 2).

Если точка, скрепленная с прямой лежит по ту же сторону, что и направляющая (как точка М на рис. 509),

Рис. 509

то проекция этой точки описывает эволь енту а сама точка укороченную эвольвенту окружности. Эта линия есть геометрическое место конца отрезка данной длины I, откладываемого на касательной к эвольвенте при этом направление отрезка совпадает с направлением убывания дуги эвольвенты.

Если же точка, скрепленная с фямой лежит по другую сторону от этой прямой, то она описывает удлиненную эвольвенту. Эта линия строится аналогично, с той только разницей, что отрезок данной длины откладывается на касательной в сторону возрастания дуги

7. Двоякое образование гипоциклоид и эпициклоид. Обыкновенная гипоциклоида, получаемая с помощью производящего круга радиуса который катится по окружности радиуса тождественна с «гипоциклоидой», получаемой с помощью производящего круга радиуса

который катится по той же окружности радиуса

Слово «гипоциклоида» поставлено в кавычки потому, что в том случае, когда под этим термином надо понимать эпициклоиду, у которой производящего круга есть

Пример 1. Астроиду, вписанную в круг радиуса которая получается качением крут а радиуса - но окружности радиуса имеющего внутреннее касание с производящим кругом, можно -чить так же, как гипоциклоиду, для которой

Пример 2. Обыкновенная гипоциклоида, получаемая качением круга радиуса по окружности тождественна с «гипоциклоидой», получаемой качением круга радиуса по окружности радиуса т. е. с эпициклоидой, для которой Эта эпициклоида является кардиоидой

Из сказанного следует, что всякая обыкновенная эпициклоида тождественна с гипоциклоидой Так, обыкновенную эпициклоиду рис. 504, а можно получить как гипоциклоиду, соответствующую значениям

Двоякое образование применимо также и к гипоциклоидам (эпициклоидам) общего вида, а именно: гипоциклоиду, соответствующую данным величинам можно получить так же, как «гипоциклоиду» где выражаются через следующими формулами:

В случае, когда линия есть эпициклоида, для которой .

Всякая же эпициклоида тождественна с гипоциклоидой

принадлежащей к типу перициклоид.

Замечание. Гипоциклоида (эпициклоида), которая при одном из способов своего образования была удлиненной, при другом способе оказывается укороченной (и наоборот).

Пример 3. Удлиненную гипоциклоиду построенную на рис. 506, б, можно получить как (укороченную) гипоциклоиду где

(по формулам (4)).

Пример 4. Удлиненную эпициклоиду , построенную на рис. 506, а, можно получить как (укороченную) гипоциклоиду (по формулам (4а)

8. Свойство нормали и касательной. Нормаль, проведенная через точку любой эпициклоиды (гипоциклоиды), проходит через соответствующую точку касания производящею круга с направляющей. Касательная к обыкновенной эпициклоиде (гипоциклоиде) проходит через точку производящего круга, диаметрально противоположную точке (ср. § 514, п. 8).

Отсюда ясен способ построения касательной.

9. Радиус кривизны R любой эпициклоиды:

Соответствующая формула для гипоциклоиды получается из (5) заменой на .

Для обыкновенной эпициклоиды (гипоциклоиды) получаем

где знак плюс соответствует эпициклоиде, а знак минус — гипоциклоиде.

Формулу (5а) можно переписать так:

Здесь I — хорда производящего круга, соединяющая точку эпициклоиды (гипоциклоиды) с соответствующей точкой опоры производящего круга. Формула (56) дает простой способ построения центра кривизны.

В начальных точках обыкновенной эпициклоиды (гипоциклоиды) . В вершинах

10. Эволюта. Эволюта обыкновенной эпициклоиды или гипоциклоиды (т. е. геометрическое место ее центров кривизны) есть линия, подобная исходной. Отношение подобия для эпициклоиды есть а для гипоциклоиды Эволюта имеет тот же центр, что и исходная эпициклоида (гипоциклоида). Вершины эволюты совпадают с начальными точками исходной линии (ср. § 514, п. 10), так что одну из этих линий можно получить из другой поворотом на угол с последующим пропорциональным изменением расстояний до центра.

Пример. Эволюта астроиды (рис. 508), т. е. гипоциклоиды, для которой есть тоже астроида, получаемая из данной поворотом около центра на угол 45° и пропорциональным изменением расстояний до центра в отношении Начальные точки будут вершинами эволюты.

11. Длина дуги эпициклоиды между точками

Эта дуга по длине равна дуге эллипса

между точками с теми же значениями параметра

Интеграл (6) в общем случае не выражается через элементарные функции аргумента Но для обыкновенной эпициклоиды (эллипс вырождается в отрезок, длина которого есть имеем

В частности, длина дуги между двумя соседними начальными точками равна

Для гипоциклоиды все вышесказанное останется в силе, если заменить соответственно на

12. Натуральное уравнение обыкновенной эпициклоиды (гипоциклоиды):

где радиус кривизны, длина дуги, отсчитываемая от одной из начальных точек. В выражениях для верхние знаки относятся к случаю эпициклоиды, нижние — к случаю гипоциклоиды. Уравнение (10) получается исключением параметра из (8) и (5а).

Если за начало отсчета дуг принять одну из вершин, то натуральное уравнение будет

13. Кинематическое свойство. Уравнение (10) или (10а) выражает на языке кинематики следующее свойство: если дуга обыкновенной эпициклоиды или обыкновенной гипоциклоиды катится без скольжения по прямой то центр кривизны точки касания движется по эллипсу; центр последнего лежит в той точке прямой через которую прокатывается вершина эпициклоиды (гипоциклоиды); одна из полуосей совпадает с прямой и по длине равна полуветви эпициклоиды (гипоциклоиды) другая полуось есть радиус кривизны в вершине § 514, п. 14.

14. Секториальная площадь описываемая полярным радиусом который в исходном положении

ведет к начальной точке эпициклоиды, выражается формулой

В частности, для обыкновенной эпициклоиды

(И. Ньютон).

В случае гипоциклоиды в формулах (11) и надо заменить на

В формулах (11) и (12) площадь рассматривается как направленная величина, т. е. принимается, что в тех промежутках изменения параметра где полярный радиус вращается в отрицательном направлении, он описывает отрицательную площадь.

Площадь сектора, описываемого полярным радиусом обыкновенной эпициклоиды (гипоциклоиды), когда точка пробегает одну ветвь, выражается формулой

где верхние знаки берутся для эпициклоиды, а нижние — для гипоциклоиды.

Площадь же соответствующего сектора направляющего круга есть

Поэтому площадь фигуры, ограниченной одной ветвью обыкновенной эпициклоиды (гипоциклоиды) и соответствующей дугой направляющей окружности выражается формулой

Пример. Рассмотрим обыкновенную гипоциклоиду, для которой т. е. астроиду (см. рис. 508). По формуле (15) находим

Это — площадь, ограниченная одной из ветвей астроиды, например ветвью и соответствующей дугой направляющей окружности .

Но ту же астроиду можно рассматривать и как гипоциклоиду, для которой Тогда, применив формулу (15), найдем

Этот результат может показаться нелепым. Однако надо учесть, что теперь для ветви астроиды соответствующей является не та дуга которая содержит 90°, а вторая дуга содержащая 270°, так что формула (156) выражает ту площадь, которая вместе с площадью (15а) заполняет весь круг О. В самом деле, сложив (15а) и (156), получаем

15. Исторические сведения. Чтобы объяснить попятные движения планет, древнегреческие астрономы, следуя Гиппарху (2 в. до н. э.), приписывали им равномерное движение по окружности (эпицикл), центр которой равномерно движется по другой окружности (деферент). Линия, описываемая точкой при этих условиях, является эпициклоидой. Мы не знаем, однако, какие ее геометрические свойства были известны ученым древности. В середине 13 века выдающийся мусульманский астроном и математик Мухаммед Насирэддинат-Туси (1201—1274) установил, что точка окружности, катящейся по неподвижной окружности, вдвое большего радиуса, касаясь ее изнутри, описывает диаметр неподвижной окружности . Это свойство независимо от Насирэддина было найдено великим польским астрономом Николаем Коперником (1473—1543); оно содержится в знаменитом его труде «Об обращениях небесных кругов», опубликованном в 1543 г. Теорема Насирэддина — Коперника нашла широкое применение в прикладной механике.

Начало систематического изучения эпициклоид и гипоциклоид было положено в 1525 г. знаменитым немецким художником Альбрехтом Дюрером (1471—1528), широко применявшим геометрические методы в изобразительном искусстве. Однако исследования Дюрера математикам остались неизвестными.

В середине 17 века Ж. Дезарг( 1593-1662), у которого глубина математических идей сочеталась с талантами конструктора, изучал свойства эпициклоид в связи с задачей создания зубчатых колес с наименьшим трением. Результаты этих, как и многих других, исследований Дезарга не были им опубликованы, но они были известны в кругу его друзей.

Ла Гир, продолживший исследования Дезарга, опубликовал в 1675 г. «Трактат об эпициклоидах и их применении в механике». Здесь установлен ряд важных свойств, в частности, свойства, приведенные в пп. 7,8, 10, 11, 14 и 15.

В своем бессмертном труде «Математические начала натуральной философии» (1687) И. Ньютон, обобщив исследования X. Гюйгенса о циклоидальном маятнике (§ 514, и. 17), установил, что в сферическом поле тяготения линией изохронного колебания маятника является эпициклоида.

Являясь естественным обобщением циклоид, эпициклоиды и гипоциклоиды многократно привлекали внимание исследователей; кроме вышеуказанных авторов упомянем еще Г. В. Лейбница, Л. Эйлера и Даниила Бернулли (1700—1782).