§ 11. Деление отрезка в данном отношении

Даны точки (рис. 11). Требуется найти координаты х, у точки К, делящей отрезок в отношении

Решение дается формулами

Если отношение обозначить буквой то формулы (1) примут несимметричный вид

Пример 1. Даны точка и точка О, совпадающая с началом координат. Найти точку К, делящую в отношении

Рис. 11

Решение. В формулы (1) надо подставить:

Получаем:

Это — координаты искомой точки К.

Замечание 1. Выражение точка К делит отрезок в отношении означает, что отношение равно отношению отрезков взятых именно в этом (а не в обратном) порядке. В примере 1 точка делит отрезок в отношении а отрезок в отношении

Замечание 2. Пусть точка К делит отрезок внешним образом, т. е. лежит на продолжении отрезка , тогда формулы (1) и (2) сохраняют силу, если величине приписать отрицательный знак.

Пример 2. Даны точки Найти на продолжении отрезка точку, отстоящую от вдвое дальше, чем

Решение. Имеем (так что можно положить или По формулам (1) находим: