§ 217. Сравнение бесконечно малых величин

Определение 1. Если отношение 2 двух бесконечно малых величин само бесконечно мало (т. е. если а значит (§ 209), ), то называется величиной высшего порядка малости относительно а; при этом а называется величиной низшего порядка малости относительно (3.

Определение 2. Если отношение 2 двух бесконечно малых величин стремится к конечному пределу, не равному нулю, то называются бесконечно малыми одного и того же порядка малости.

Замечание. Эквивалентные бесконечно малые величины всегда имеют один и тот же порядок.

Пример 1. При величина имеет высший порядок малости относительно так как . Наоборот, имеет низший порядок относительно так как .

Пример 2. При величины имеют один и тот же порядок малости, так как

Пример 3. При величина имеет высший порядок малости относительно так как (§ 216, пример 5)

При каждая из величин имеет низший порядок относительно любой следующей за ней. Поэтому в основе дальнейшей классификации бесконечно малых величин лежит следующее определение.

Определение 3. Бесконечно малая величина имеет порядок малости относительно бесконечно малой а, если имеет тот же порядок малости, что

т. е. (см. определение 2) если отношение имеет конечный предел, не равный нулю.

Пример 4 При бесконечно малая имеет третий порядок относительно так как

бесконечно малая второй порядок, бесконечно малая порядок

Пример 5. Бесконечно малая имеет второй порядок относительно а, так как (см. замечание к определению 2)

Пример 6. Бесконечно малая имеет третий порядок малости относительно а, т. е. тот же, что и слагаемое порядок которого ниже порядка другого слагаемого. Так будет с каждой суммой двух или нескольких слагаемых.

Пример 7. Бесконечно малая величина имеет 5-й порядок малости относительно (число 5 есть сумма порядков сомножителей; так будет с каждым произведением двух или нескольких сомножителей).

Теорема 1. Разность двух эквивалентных бесконечно малых имеет высший порядок как относительно а, так и относительно

Пример 8. При имеем Поэтому имеет высший порядок относительно (а также относительно )

Теорема 2 (обратная). Если разность бесконечно малых величин имеет высший порядок относительно одной из них (тогда она имеет высший порядок и относительно другой), то .

Пример 9. Бесконечно малые разнятся на это — величина высшего порядка относительно Поэтому