§ 224. Определение производной функции

Пусть есть непрерывная функция аргумента определенная в промежутке и пусть какая-либо точка этого промежутка. Дадим аргументу приращение (положительное или отрицательное). Функция получит приращение равное

При бесконечно малом приращение тоже бесконечно мало (§ 219).

Предел, к которому стремится отношение при

сам является функцией аргумента (ср. § 223). Эта функция называется производной функции и обозначается или у.

Короче: производной функции называется предел, к которому стремится отношение бесконечно малого приращения функции к соответствующему бесконечно малому приращению аргумента.

Замечание. В процессе нахождения предела (2) величина рассматривается как постоянная.

Пример 1. Найти значение производной функции при

Решение. При имеем Дадим аргументу приращение Аргумент станет равным а функция получит значение Приращение функции равно

Отношение этого приращения к приращению есть

Находим предел, к которому стремится при

Искомое значение производной равно 14. Пример 2. Найти производную функции (при произвольном значении Даем аргументу приращение Аргумент получает значение Приращение функции есть . Отношение равно Производная функции есть предел этого отношения при

Искомая производная При получаем (ср. пример 1).

Пример 3. Найти производную функции (аргумент выражается в радианной мере).

Решение. Даем аргументу приращение Приращение функции есть

Отношение равно

Предел этого отношения при равен

Следовательно,