§ 385. О равномерной и неравномерной сходимости

Пусть функциональный ряд

сходится в каждой точке (замкнутого или незамкнутого)

промежутка и пусть требуется приближенно найти сумму ряда (1) с точностью до е (т. е. остаток по абсолютному значению не должен превышать положительного числа е). Для каждого определенного значения это требование удовлетворяется, начиная с некоторого номера Величина как правило, зависит от и может случиться так, что ни один номер не обеспечивает требуемой точности для всех сразу. Тогда говорят, что ряд (1) сходится в промежутке неравномерно. Если же требуемую степень точности всегда можно обеспечить сразу для всех начиная с одного и того же номера то говорят, что ряд (1) сходится в промежутке равномерно.

Пример 1. Функциональный ряд

(см. § 384, пример 3) сходится в каждой точке замкнутого промежутка Покажем, что в этом промежутке он сходится неравномерно.

Потребуем, чтобы частичная сумма

давала сумму ряда (2) с точностью до . При а также при этому требованию удовлетворяют все частичные суммы (получается точное значение При остальных значениях сумма ряда равна

так что остаток ряда равен

При или при или при требуемая точность обеспечивается, начиная с номера ; например, при имеем:

Но при двух членов мало; надо взять по меньшей мере три. Тогда

Дальнейшие пробы покажут, что при требуемая точность обеспечивается, начиная лишь с номера при начиная с номера при придется взять По мере приближения к 1 число неограниченно возрастает, так что для всех значений сразу никакой номер не может обеспечить точность до 0,1 (а большую точность и подавно). Следовательно, ряд (2) в промежутке сходится неравномерно.

На рис. 402 изображены графики частичных сумм

Остаток изображается при отрезками ординат между соответствующим графиком и прямой (представляющей сумму ряда (2) для всех значений кроме .

Сходимость ряда (2) проявляется в том, что графики частичных сумм все теснее прилегают к прямой на все большем ее протяжении. Неравномерность сходимости сказывается в том, что вблизи от В каждый из графиков отходит от прямой Но по мере роста заметный отход совершается на все меньшем участке.

Пример 2. Покажем, что тот же ряд (2) сходится в промежутке (0; 0,5) равномерно.

Рис. 402

Потребуем точность до . При эта точность обеспечивается, начиная с номера так как

Для всякого другого значения в промежутке (0; 0,5) требуемая точность и подавно обеспечивается, начиная с номера 4.

Потребуем точность до ; тогда при достаточно взять так как

Для всякого другого значения в промежутке (0; 0,5) семи членов и подавно достаточно. Вообще, тот номер который обеспечивает точность до 8 при всегда обеспечивает ту же точность сразу для всех значений в промежутке (0; 0,5). Следовательно, в этом промежутке ряд (2) сходится равномерно.

На рис. 402 равномерность сходимости проявляется в том, что в промежутке (0; 0,5) наибольшее отклонение графика от прямой стремится к нулю по мере роста В промежутке этого не происходит.