§ 406. О комплексных числах

Комплексные числа получили права «гражданства» в математике вследствие того, что с их помощью упрощается

нахождение многих связей между действительными величинами.

Пример 1. Последовательно умножая комплексное число само на себя, получаем формулу Муавра

для целого положительного Применяем к левой части формулу бинома и приравниваем соответствующие координаты обеих частей (у двух равных комплексных чисел абсциссы и ординаты соответственно равны). Получаем выражения через степени Например, при имеем:

Сюда входят только действительные величины.

Пример 2. Пользуясь формулой суммы геометрической прогрессии, находим:

Применим к обеим частям (4) формулу (1) и выполним в правой части деление. Получим две формулы:

Введя в рассмотрение комплексные переменные величины и определив для них понятия функции, предела, производной и т. д., мы находим много новых связей между действительными переменными величинами.

В §§ 407—410 в отступление от общего плана книги рассматриваются комплексные функции действительного аргумента; функций комплексного аргумента мы не касаемся вовсе.