§ 308. О разложении многочлена на множители

Разложение многочлена

на множители сводится к решению уравнения

Действительно, если известен какой-либо корень уравнения (2), то многочлен (1) разделится без остатка на и мы получим разложение вида

По способам, излагаемым в высшей математике, всегда можно найти (приближенно, но с любой точностью) один из корней всякого числового алгебраического уравнения. Однако корень может быть и мнимым.

Получив разложение (3), мы можем далее найти корень уравнения Число будет также корнем уравнения (2). Для многочлена (1) получится такое разложение:

и т. д. В конце концов получим разложение на (действительных или мнимых) множителей первой степени:

такое разложение единственно. Числа корни уравнения (2). Эти числа называют также корнями многочлена (1). Не исключена возможность того, что некоторые корни равны между собой. Но и в этом случае считают, что уравнение (2) имеет корней, только каждый из корней надо считать за один, за два, за три и т. д., в зависимости от того, сколько раз повторяется соответствующий множитель в разложении (5).

Если все коэффициенты многочлена (1) действительны, то всякому комплексному корню а отвечает другой комплексный корень (сопряженные корни). Если один из сопряженных корней повторяется, то столько же раз повторяется и другой.

Два сопряженных комплексных множителя дают в произведении действительный многочлен вида

Здесь

Значит, всякий многочлен (с действительными коэффициентами) разлагается на действительные множители типа (множители второго типа не разложимы на действительные множители первой степени).

Замечание. Хотя числа входящие в множители типа действительны, но, как правило, они являются иррациональными. Более того, в том случае, когда многочлен (1) имеет пятую или более высокую степень, эти числа, как правило, нельзя точно выразить даже с помощью радикалов. Поэтому далеко не всегда возможно точно разложить рациональную функцию на простейшие дроби.