§ 238. Производная сложной функции

Производная функции от функции равна производной функции по вспомогательной переменной, умноженной на производную этой переменной по аргументу:

Пример 1. Найти производную функции (по аргументу ).

Полагая имеем:

По формуле (1) получаем:

Замечание. Используя обозначение начинающие часто допускают ошибку. Зная, что они записывают результат в виде забывая умножить на Ошибка связана с несовершенством обозначения (не видно, по какому переменному берется производная). Поэтому на первых порах лучше вести запись так:

При достаточном навыке промежуточное преобразование выполняется в уме.

Наилучшую гарантию от ошибки дает предварительное вычисление дифференциала Получив (§ 237, пример 2) берем коэффициент при (т. е. делим на ) и находим для производной выражение

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Здесь имеем цепочку трех зависимостей:

Аналогично с (1) имеем: Учитывая, что (§ 224, пример 3), находим:

Во избежание ошибки лучше действовать так:

Деля на получаем: