§ 499. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью

Общее решение уравнения с правой частью

получается с помощью квадратур из общего решения соответствующего уравнения без правой части

по общему методу, изложенному ниже в § 501. Но во многих практически важных случаях цель достигается проще следующим образом.

Надо сначала найти какое-либо частное решение данного уравнения (1), затем надо прибавить к общему решению соответствующего уравнения (2) без правой части. В сумме получится (§ 496, теорема 3) общее решение данного уравнения.

Для нахождения функции пользуются следующими тремя правилами.

Правило 1. Если правая часть уравнения (1) имеет вид

где какой-либо многочлен степени и если число не является корнем характеристического уравнения

то уравнение (1) имеет частное решение вида

где некоторый многочлен той же степени (звездочка при у поставлена для отличия частного решения уравнения (1) от его общего решения).

Коэффициенты и свободный член многочлена можно найти по методу неопределенных коэффициентов.

Замечание 1. Если множитель есть постоянная величина (многочлен нулевой степени), то тоже постоянная.

Замечание 2. Правило распространяется и на случай, когда многочлен (т. е. ). Тогда решение (5) — тоже многочлен.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение

имеет корни так что общее решение соответствующего уравнения без правой части есть

(черточка над у поставлена для отличия общего решения уравнения (2) от общего решения у уравнения (1)).

Остается найти какое-либо частное решение у уравнения (6). Правая часть последнего имеет вид (3), причем (многочлен нулевой степени) и число не является корнем характеристического уравнения (7). По правилу 1 уравнение (6) имеет решение вида

Подставляя (9) в (6), находим:

Приравнивая коэффициенты при получаем:

Искомое решение у есть

Общее решение уравнения (6) есть

Пример 2. Найти общее решение уравнения

Характеристическое уравнение

имеет корни так что (при обозначениях примера 1)

Правая часть уравнения (14) имеет вид (3), причем и число не является корнем характеристического уравнения. Ищем решение вида

Подставляя в (14), получаем равенство

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему

из которой находим: так что

Общее решение уравнения (14) есть

Замечание 3. Для уравнения поиски частного решения вида (16) были бы бесполезны, так как число теперь является корнем характеристического уравнения Условия правила 1 нарушены, и надо применить правило 2.

Правило 2. Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид

где многочлен степени и пусть число является корнем характеристического уравнения Если этот корень — однократный (т. е. один из

неравных корней), то уравнение (1) имеет частное решение вида

где многочлен степени если же двукратный корень характеристического уравнения (т. е. один из двух равных корней), то уравнение (1) имеет решение вида

Замечания 1 и 2 остаются в силе.

Пример 3. Найти общее решение уравнения

а также частное решение при начальных условиях

Решение. Здесь и число служит однократным корнем характеристического уравнения

Уравнение (24) имеет частное решение вида

Поступая так же, как и в примере 2, получим систему

из которой находим: так что

Общее решение уравнения (24) есть

Дифференцируя, получаем:

Подставляя в (27) и (27а) начальные значения, получаем систему

Она дает: искомое частное решение есть .

Пример 4. Найти общее решение уравнения

Здесь и число есть двукратный корень характеристического уравнения Уравнение (28) имеет частное решение вида

Подставим (29) в (28); члены, содержащие сами собой устранятся, и мы получим равенство

Приравняв коэффициенты при членах с одинаковыми степенями получим систему так что

Общее решение уравнения (28) (см. § 498, случай 2) есть

Правило 3. Пусть правая часть уравнения (1) имеет

где многочлены степени Возможны два случая:

1) комплексные числа а не являются корнями характеристического уравнения

2) числа являются корнями этого уравнения. В первом случае уравнение (1) имеет решение вида

где многочлены, степени которых не превышают старшей из степеней

Во втором случае уравнение (1) имеет решение вида

Пример 5. Найти общее решение уравнения

Здесь (т. е. — многочлены нулевой степени), . Комплексные числа не являются корнями характеристического уравнения Уравнение (35) имеет частное решение вида

Подставляя (36) в (35), приходим к равенству

и получаем систему

Она дает: так что

Общее решение уравнения (35) есть

Пример 6. Найти общее решение уравнения

Здесь (старшая степень многочленов первая), Комплексные числа являются корнями характеристического уравнения Уравнение (39) имеет частное решение вида

Подставляя (40) в (39), приходим к равенству

и получаем систему

Она дает: , так что

Общее решение уравнения (39) есть

Замечание 4. Если в правой части уравнения (1) стоит сумма, где каждое слагаемое имеет вид (21) или (32), то

уравнение (1) имеет частное решение, представляющее сумму выражений вида (5), (22), (23), (33), (34). Коэффициенты находятся так же, как и в примерах 1—6.