§ 348. Параметрическое задание пространственной линии

Линия в пространстве, рассматриваемая как пересечение поверхностей, представляется системой двух уравнений, связывающих (см. § 170).

Линия в пространстве, рассматриваемая как след движущейся точки, представляется системой трех уравнений:

выражающих координаты точки через параметр механике за параметр часто принимают время). Уравнения (1) называются параметрическими уравнениями пространственней линии (ср. § 251).

За параметр часто принимают одну из координат, например Тогда уравнения линии имеют вид

(первое из уравнений (1) обращается в тождество

Уравнениями (2) нельзя представить линию, лежащую в плоскости, перпендикулярной оси ОХ (у такой линии все точки имеют одну и ту же абсциссу).

Если уравнение какой-либо поверхности после подстановки выражений (1) обращается в тождество, то линия (1) лежит на этой поверхности.

Всякую линию можно представить параметрически бесчисленными способами. Если известна одна система параметрических уравнений, то любую другую получим, заменив некоторой функцией нового параметра

Проекция линии (1) на плоскость (в частности, на координатную плоскость XOY) представляется уравнениями

Уравнение часто опускают, подразумевая его. Аналогично для проекций на плоскости .

Пример. Параметрические уравнения

представляют прямую линию.

Если за параметр принять то та же прямая представится уравнениями

Прямая (1а) лежит на поверхности

(гиперболический параболоид), так как равенство (4) станет тождеством, когда в него подставим выражения (1а).

Прямая лежит также на плоскости

Значит, прямая (1а) принадлежит пересечению поверхностей (4) и (5).

Отсюда не следует, что поверхности (4) и (5) пересекаются только в точках прямой (1а). Плоскость (5) пересекает параболоид (4) по двум прямолинейным образующим (§ 180); одна из них есть прямая (1а).

Взяв выражение параметра через новый параметр получим другие параметрические уравнения той же прямой:

Проекция прямой (1а) на плоскость представляется параметрическими уравнениями

(подразумевается уравнение Уравнение той же проекции получим из (16) в виде

и т. д. Исключив параметр, получим в обоих случаях