§ 52. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы
Все эллипсы, гиперболы и параболы обладают следующим свойством: для каждой из этих линий остается неизменным отношение (рис. 63)
где 
расстояние от ее произвольной точки 
до данной точки 
(фокуса), а 
расстояние от точки 
до данной прямой 
(директрисы).
Для эллипса (рис. 64) это отношение меньше единицы (оно равно эксцентриситету эллипса 
; ср. §§41,51). Для гиперболы
Рис. 101
Рис. 67
Рис. 65
Рис. 66
(рис. 65) оно больше единицы (оно равно эксцентриситету гиперболы 
§§ 43, 51); для параболы (рис. 66) оно равно 1 (§ 48).
Обратно, всякая лийия, обладающая указанным свойством, есть либо эллипс (если 
), либо гипербола (если 
либо парабола (если 
). Поэтому упомянутое свойство можно принять за общее определение эллипса, гиперболы и параболы, а неизменное отношение 
назвать эксцентриситетом. Эксцентриситет 
параболы равен единице, для эллипса 
для гиперболы 
Заданием эксцентриситета 
и расстояния 
от фокуса до директрисы полностью определяются величина и форма эллипса, гиперболы и параболы. Если при данном 
изменять 
то все получаемые кривые будут подобны друг другу.
Хорда 
эллипса, гиперболы или параболы (см. рис. 64, 65, 66), проходящая через фокус 
и перпендикулярная оси 
называется фокальной хордой и обозначается 
Величина 
(т. е. длина фокальной полухорды) называется параметром эллипса, гиперболы или параболы. Она связана с 
соотношением
так что для параболы 
Вершины эллипса, гиперболы и параболы (А на рис. 64, 65, 66) делят отрезок 
в отношении 
Вторая вершина эллипса и гиперболы (А на рис. 64, 65) делит 
в том же отношении внешним образом (§ 11).
Рис. 67
Рис. 68
В соответствии с новым определением эллипс, гипербола и парабола представляются единым уравнением. Если за начало координат принять вершину А (рис. 67) и ось направить по лучу 
то это уравнение будет:
здесь 
параметр, 
эксцентриситет.
Вблизи от вершины парабола по форме мало отличается от эллипсов и гипербол, имеющих эксцентриситет, близкий к 1. На рис. 68 изображены эллипс с эксцентриситетом 
; гипербола с эксцентриситетом 
и парабола 
имеющие общий фокус 
и общую вершину А.
Полуоси 
и полуфокусное расстояние с эллипса и гиперболы выражаются через 
следующим образом:
Расстояние 
от фокуса 
до вершины А во всех трех случаях выражается формулой
