§ 408. Производная комплексной функции

Определение. Производная комплексной функции

действительного аргумента есть предел отношения при .

Координаты производной являются производными координат данной функции:

Вектор, изображающий есть вектор касательной в соответствующей точке графика

Если время, то модуль производной равен абсолютному значению скорости движения точки вдоль графика (3).

Дифференциал комплексной функции определяется так же, как и для действительной, и обладает теми же свойствами.

Если комплексная функция представляется многочленом

где комплексная функция действительного аргумента то

Формулы производной произведения и частного — те же, что и для действительных функций.

Пример 1. Производная функции

равна

Функция (6) изображается множеством точек окружности (рис. 421) радиуса а:

Производная (7) изображается вектором касательной с координатами

Модуль производной (выражающий скорость, если t - время) равен

Следовательно, скорость движения точки по окружности постоянна, так что есть дуга окружности, проходимая в единицу времени. Значит, есть период полного оборота окружности.

Рис. 421

Из (6) и (7) следует, что

Геометрически: вектор получается из вектора удлинением (укорочением) в раз и поворотом на 90° (умножение на равносильно повороту на 90°).

Пример 2. Производная функции

где функции равна

Тот же результат получим, если предварительно представим (12) в виде