§ 504. Циссоида Диокла

1. Определение и построение. На отрезке , как на диаметре, строим окружность С (рис. 481) и проводим через А касательную Через О проводим

произвольную прямую пересекающую в точке эта прямая пересечет (вторично) окружность С в точке На прямой от точки по направлению к О откладываем отрезок равный хорде Линия, описываемая точкой при вращении около О, называется циссоидой Диокла — по имени греческого ученого 2 века до н. э., который ввел эту линию для графического решения задачи об удвоении куба.

2. Исторические сведения. Диокл определял циссоиду с помощью другого построения. Он проводил диаметр перпендикулярный точка получалась в пересечении хорды с прямой проведенной через точку симметричную с относительно Поэтому линия Диокла располагалась целиком внутри круга С. Она состояла из дуг и Если замкнуть линию полуокружностью описанной точкой получается фигура, напоминающая лист плюща. Отсюда название «циссоида».

Примерно в 1640 г. Роберваль, а позднее де заметили, что циссоида неограниченно продолжается и за пределы окружности, если точка описывает и другую полуокружность тогда лежит на продолжении хорды Однако наименование «циссоида Слюза», предложенное Гюйгенсом, не утвердилось в литературе.

Рис. 481

3. Уравнение в прямоугольной системе (О — начало координат, ось абсцисс):

В полярной системе (О — полюс, ОХ - полярная ось):

Рациональное параметрическое представление

4. Особенности формы. Циссоида симметрична относительно проходит через точки и имеет асимптоту ; О — точка возврата (радиус кривизны ).

Построение касательной. Чтобы построить касательную к циссоиде в ее точке приводим Пусть точки пересечения с прямыми От точки на продолжении отрезка откладываем отрезок Строим и Точку пересечения и соединяем с Прямая нормаль к циссоиде. Искомая касательная перпендикулярна

5. Площадь S полосы, заключенной между циссоидой и ее асимптотой (эта полоса простирается в бесконечность), конечна; она втрое больше площади производящего круга С:

6. Объем V тела вращения вышеупомянутой полосы около асимптоты равен объему V тела вращения круга С около той же оси (Слюз):

При вращении той же полосы около оси симметрии получается тело бесконечного объема.

7. Центр тяжести Н полосы между циссоидой и ее асимптотой делит отрезок в отношении (Гюйгенс).

8. Связь с параболой. Геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из вершины параболы на ее касательные, есть циссоида