§ 71. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=k/x

Уравнение

представляет равностороннюю гиперболу (§ 44); ее асимптоты совпадают с осями координат. Ее полуоси

Если то ветви гиперболы расположены одна в первой, другая в третьей четверти; если же то во второй и четвертой (рис. 94). В первом случае действительная ось гиперболы составляет с осью абсцисс угол 45°, во втором — угол -45°.

Все это выводится по способу § 61, если уравнение (1) записать в виде

Рис. 94

Замечание. В случае, когда уравнение (3) представляет пару прямых у = 0 (ось абсцисс) и х = 0 (ось ординат). Когда [неограниченно уменьшается, гиперболы (3) все теснее примыкают к этим прямым (так что пару перпендикулярных прямых можно рассматривать как вырожденную равностороннюю гиперболу).

Уравнение (1) при представляет только одну прямую (ось абсцисс) и притом не всю целиком, а без начала координат, так как при выражение становится неопределенным. Если же этой неопределенной величине давать всевозможные значения, то мы и получим «пропавшую» ось ординат.